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SPE MATHEMATIQUES

le Sam 20 Jan - 12:58
Bonjour, j'ai un dm de spé a faire, et j'aurais besoin d'un peu d'aide et je sais que vous pourriez m'aider.



Pour l'exercice 1 :
3^20 = 40 [41]
7*3^(20) = 7*40 [41]
             = 34 [41]
7*3^(20)+6 = 34+6 [41]
                    = 40 [41]

Donc le reste de la division euclidienne de 7*3^(20)+6 par 41 est donc 40.

Exercice 2 : J'ai penser faire une récurrence :
Initialisation : n=0 3^1 + 2^2 = 3+4 = 7
Vrai
Hérédité : 3^(2n+1) + 2^(n+2)
                  3^(2(n+1)+1+1) + 2^((n+1)+2+2)
                  3^(4n+2+2) + 2^(n+5)
                  3^(4n+4) + 2^(n+5)

Après je sais pas trop

Exercice 3 :
Conjecture : n=0 --> r=1
n=1 --> r=2
n=2 --> r=4
n=3 --> r=3
n=4 --> r=1
n=5 --> r=2
n=6 --> r=4
n=7 --> r=3
Et ainsi de suite, puis je ne sais pas comment le justifier

Exercice 4 :
Conjecture : n=0 --> r=1
n=1 --> r=4
n=2 --> r=4
n=3 --> r=1
n=4 --> r=0
n=5 --> r=1
n=6 --> r=4
n=7 --> r=4
n=8 --> r=1
n=9 --> r=0

Puis pareil ne je sais pas comment justifier
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 10:06
Salut, je suis d'accord pour l'exercice 1.

Pour l'exercice 2, tu peux partir sur une récurrence et en écrivant qu'il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que $3^{2n+1}+2^{n+2}=7k$. Essaie de la faire avec cet indice et si besoin je t'aiderai davantage.
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:10
Je ne vois toujours pas comment m'y prendre pour la récurrence...
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:29
Ton initialisation est correcte (mais à rédiger davantage).

Pour l'hérédité, tu supposes que pour un certain $n\in\mathbb{N}$,  $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est un multiple de $7$, ce qui se traduit par l'existence d'un entier $k\in\mathbb{Z}$ tel que $3^{2n+1}+2^{n+2}=7k$ (hypothèse de récurrence).

On veut montrer que $3^{2(n+1)+1}+2^{n+1+2}$ est un multiple de $7$, c'est-à-dire qu'on peut l'écrire $7k'$ avec $k'\in\mathbb{Z}$.

$3^{2(n+1)+1}+2^{n+1+2}=3^{2n+3}+2^{n+3}=9\times 3^{2n+1}+2\times 2^{n+2}$. D'après l'hypothèse de récurrence, on sait que $3^{2n+1}=7k-2^{n+2}$, ainsi on obtient :

$9\times 3^{2n+1}+2\times 2^{n+2}=9(7k-2^{n+2})+2\times 2^{n+2}=63k-9\times 2^{n+2}+2\times 2^{n+2}=63k-7\times 2^{n+2}=7(9k- 2^{n+2})$

$9k- 2^{n+2}$ est un entier car c'est la différence de deux entiers, donc $3^{2(n+1)+1}+2^{n+1+2}$ est bien un multiple de $7$.
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:32
Vraiment merci ! Et ensuite pour l'exercice suivant ?
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:33
Je t'en prie ! Je compte sur toi pour ne pas juste recopier la réponse mais la comprendre ! Si tu reprends ma rédaction, ton prof le remarquera de toutes façons (d'ailleurs il reste la conclusion de la récurrence à faire).
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:35
Oui, de toutes manière j'essaye toujours de partir sur le début de vos réponses pour en finir sur la même conclusion ^^
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:48
Pour l'exercice 3 il faut aussi ajouter un entier natuel K ?
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:52
Ce que tu as remarqué est juste ! Maintenant, il faut que tu arrives à le démontrer. Tu dois montrer que $2^n$ et $2^{n+4}$ ont le même reste par la division euclidienne par $5$.
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 19:56
2^(n+4) = 2^n * 2^4 = 2^n + 16 = 2^n + 1 Donc 2^n = 1 [5]
2^(n+1+4) = 2^n * 2^5 = 2^n + 32 = 2^n + 2 Donc 2^n+1 = 2 [5]
2^(n+2+4) = 2^n * 2^6 = 2^n + 64 = 2^n + 4 Donc 2^n+2 = 4 [5]
2^(n+3+4) = 2^n * 2^7 = 2^n + 128 = 2^n + 3 Donc 2^n+3 = 3 [5]

Comme cela ?
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 20:34
Donc après, je bloque pour le 3. Car je trouve comme conjecture que n=1, n=3 et n supérieur ou égal à 5
Mais Je vois pas comment les justifier.
Pour n = 1 et n=3 je peu l'essayer directement mais après pour supérieur ou égal je sais pas. Juste

1188 = 5 * 237 + 3 alors 1188 = 3[5]
2257 = 5 * 451 + 2 alors 2257 = 2[5]
Alors 1188^n = 3^n = 1[n]
Et 2257^n = 2^n = 1[n]
Donc 1188^n + 2257^n = 2^n + 3^n = 2[n]
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Re: SPE MATHEMATIQUES

le Lun 22 Jan - 21:09
J'ai réussi c'est juste l'exercice 4 que je n'arrive pas maintenant...
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