Une intégration par parties

Bonjour à tous,

je fais quelques exercices de prépa sur les intégrales, et parmi eux une IPP qui me fait tourner en rond ! ( et en bourrique :hap: )

$\int(\dfrac{t^n}{n!}\exp{(-t)})dt$

J'ai les conditions initiales (vaut 1 en t=0) mais j'obtiens toujours quelque chose d'encore plus compliqué que cette expression, et wolfram alpha fait intervenir une fonction gamma dont je n'ai jamais entendu parler...
Merci de votre aide !

Salut Morands Ton intégrale est bien entre $0$ et $+\infty$ ?
Si je ne me trompe pas, tu fais sortir le $\frac{1}{n!}$ de l'intégrale, et tu calcules le reste de l'intégrale que tu notes $I_n$. Tu devrais arriver à une expression de $I_n$ en fonction de $I_{n-1}$

En fait l'intégrale n'a pas de bornes, il s'agit juste de trouver la primitive.

En appliquant la formule de l'IPP j'obtiens :

$\exp{(-t)}*\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)!}  +  \int{\exp{(-t)}*\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)!}}dt$

En notant $I_n$ mon intégrale de base ça donnerait :

$\frac{d}{dt}I_{n+1} + I_{n+1}$

Mais je ne sais pas si je vais dans le bon sens là

Il faut intégrer $exp$ et dériver $t^n$ !

Effectivement! ce qui me donne

$I_n = -\exp{(-t)}\dfrac{t^n}{n!} + I_{n-1}$

et donc

$I_n = -\exp{(-t)}\dfrac{t^n}{n!}*n + I_{0}$

où $I_0 = -\exp{(-t)}$

ainsi

$I_n = -\exp{(-t)}\dfrac{t^n}{(n-1)!} -\exp{(-t)} $

Ça me paraît bien, mais du coup je ne vois pas le rapport avec la condition initiale

En fait, je te conseille de sortir le $\frac{1}{n!}$ de ton intégrale et de poser :

$I_{n}=\int t^{n}e^{-t}dt$

Bon, ayant du temps cet après-midi j'ai décidé de m'y remettre en suivant tous tes conseils et j'ai trouvé quelque chose qui me semble bon

$ I_n = -\exp{(-t)}*t^n + n I_{n-1} $

Et donc en remplaçant $I_{n-1}$ , puis $I_{n-2}$ j'obtiens une récurrence : (je remultiplie entre temps par $\frac{1}{n!}$ )

$I_n = I_0 + (-\exp{(-t)})(\frac{t^n}{n!} + ... + \frac{t^2}{2!} + t)$

Et $I_0$ valant $-\exp{(-t)}$

$I_n = (-\exp{(-t)})(\frac{t^n}{n!} + ... + \frac{t^2}{2!} + t + 1)$

Et je rajoute la constante d'intégration qui vaut 2 grâce aux conditions initiales !