reprendre les bases

Bonjour 8)

comme on me l'a conseillé, je reprends les bases à travers tout ce que je peux glaner via internet sur les ensembles, il y a des exercices mais je n'ai pas de correction. On demande :

"montrer que A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

j'ai fait ceci :

x $\in$ A $\cup$ (B $\cap$ C)

$\Leftrightarrow$  x  $\in$ A ou x $\in$ B

$\Leftrightarrow$  x $\in$ A ou (x $\in$ B et x $\in$ C )

$\Leftrightarrow$  (x $\in$ A) ou (x $\in$ B $\cap$ C)

$\Leftrightarrow$ (x $\in$ A $\cup$ B) et (x $\in$ A ou x $\in$ C)

$\Leftrightarrow$ (x $\in$ A $\cup$ B) $\cap$ (x $\in$ A $\cup$ C)

Autrement dit que (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

On en conclue que les deux ensembles sont égaux.

le raisonnement est-il bon ?

merci

on demande

[b]Enumérer {1,2,3} x {1,2,3,4}[/b]

c'est à dire je suppose l'énumération du produit cartésien x,y où  x $\in$ A et y $\in$ B.

l'ensemble A est défini:

A={x$\in$ $\mathbb{N}$ | 1$\leq$ x $\leq$3} = {1,2,3} $\Rightarrow$ |A|=3

et l'ensemble B défini

B={y$\in$ $\mathbb{N}$ | 1$\leq$ y $\leq$4} = {1,2,3,4} $\Rightarrow$ |B|=4

Card (AXB) = Card(A) X Card(B) = 3 x 4 = 12


[u]Enumération :[/u]

{1,2,3} x {1,2,3,4} = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2),

(2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4) } = 12

Est-ce correct ?

Merci

Salut

[quote:c340="piok"]Bonjour 8)

comme on me l'a conseillé, je reprends les bases à travers tout ce que je peux glaner via internet sur les ensembles, il y a des exercices mais je n'ai pas de correction. On demande :

"montrer que A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

j'ai fait ceci :

x $\in$ A $\cup$ (B $\cap$ C)

$\Leftrightarrow$  x  $\in$ A ou x $\in$ B [color:c340=#FF0000]Faux[/color]

$\Leftrightarrow$  x $\in$ A ou (x $\in$ B et x $\in$ C )

$\Leftrightarrow$  (x $\in$ A) ou (x $\in$ B $\cap$ C)

$\Leftrightarrow$ (x $\in$ A $\cup$ B) et (x $\in$ A ou x $\in$ C)

$\Leftrightarrow$ (x $\in$ A $\cup$ B) $\cap$ (x $\in$ A $\cup$ C) [color:c340=#FF0000]Ne veut rien dire[/color]

Autrement dit que (A $\cup$ B) $\cap$ (A $\cup$ C)

On en conclue que les deux ensembles sont égaux.

le raisonnement est-il bon ?

merci[/quote]

Ce que tu écris est globalement juste, mais tu ne justifies rien. Comment passes tu de $\Leftrightarrow$ (x $\in$ A) ou (x $\in$ B $\cap$ C) à $\Leftrightarrow$ (x $\in$ A $\cup$ B) et (x $\in$ A ou x $\in$ C) ? C'est exactement le point que tu dois démontrer.
C'est un exercice un peu fastidieux sans passer par les tables de vérités (les as tu vues ?). Je n'aime pas trop montrer ça par équivalence. A mon avis il vaut mieux le montrer par doubles implications.
Mais l'idée est là, tu t'en sors correctement.

Pour l'exercice sur le produit cartésien, c'est parfait.

merci Curry d'avoir pris le temps de regarder et de me conseiller sur mes humbles "travaux", ça m'encourage .

J'ai lu attentivement ce que tu me dis et je vais suivre le chemin que tu suggères, mais cependant, juste une petite précision :

Ce que tu appelles procéder par doubles implications c'est ce qui va permettre, je suppose, au raisonnement d'expliciter plus clairement ce que l'équivalence admet de façon "elliptique" (pris ici dans un sens littéraire et poétique je précise ) ?

je retourne donc à ma copie et je vais essayer de clarifier tout ça en passant par les tables de vérité comme tu m'y invites

encore merci

Salut Piok, lorsque l'on veut montrer une équivalence (par exemple $A\Leftrightarrow B$), on peut procéder des deux façons suivantes :
[list]
[*]En procédant par équivalences successives :
$$A\Leftrightarrow C\Leftrightarrow D\Leftrightarrow E\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow B$$
On "part" de $A$ et on arrive à $B$ en passant uniquement par équivalences.

[*]En procédant par double-implication :
Dans ce cas, il y a deux étapes. D'une part, tu montres que $A\Rightarrow B$, d'autre part que $B\Rightarrow A$.
[/list]

[size=10](c'est tellement évident que je n'y pense même pas ) [/size]

Merci Prof J, et aussi aux autres profs, pour l'écoute, la patience et les conseils, je ne le dirais jamais assez

Je soumettrai ce travail à nouveau à votre appréciation dès que je peux.

Attention à ce qui est "évident" en mathématiques (notamment en logique)

[quote:6fa6="Professeur J"]Attention à ce qui est "évident" en mathématiques (notamment en logique)
[/quote]

+1

Ta remarque a mystérieusement disparu^^

et hop ! elle est réapparue !

Avant de revenir sur le sujet qui me préoccupe, (j'y travaille, j'y travaille, en fait ça paraît clair dans ma tête mais pour garder la clarté dans la mise en forme faut une certaine habitude ...)

Là où je voulais en venir accessoirement, c'est à propos des tables de vérité :  

concernant l'équivalence P $\Leftrightarrow$  Q c'est ok

concernant la conjonction $\wedge$ et la disjonction $\vee$ c'est ok

concernant P XOR Q ou exclusif c'est ok je comprends la logique des assertions vraies:fausses...

par contre concernant l'implication P $\Rightarrow$ Q  j'ai du mal avec le fait que $\forall$ P (Vrai ou Faux) l'implication est toujours vraie, tant il est raisonnable de penser que le faux entraîne le vrai tout comme il entraîne le faux. C'est vrai que formulé ainsi je peux encore le croire, mais dire que la raison admet que le faux implique le vrai me paraît très flou, d'autant plus que l'on suggère qu'il n'est pas nécessaire de savoir si P est vrai ou faux et qu'il suffise de supposer P vrai pour démontrer la validité de l'implication. Mais si on admet que le vrai n'implique que le vrai et jamais le faux (ce qui me semble juste à défaut d'être évident ) pourquoi est-ce que dans une même logique le faux n'impliquerait-il pas que le faux et jamais le vrai ? comme les tables de vérité ne se justifient que dans le cadre d'une théorie mathématique, y-a-t-il une ou des théories mathématiques où le faux implique le vrai ? ou cela s'applique-t-il au raisonnement par l'absurde, mais qui de toutes façons n'intervient lui-même que pour dénoncer le faux (donc l'absurdité d'une assertion)...

(ouaip !...pas facile tout ça, enfin, ceci étant dit juste par curiosité...en passant )

Heu je n'ai pas tout compris ...
Le seul cas où $P \Rightarrow Q$ est faux c'est quand $P$ est vrai et que $Q$ est faux. Tu peux voir l'implication $P \Rightarrow Q$ comme la négation de $P$ ET non($Q$), c'est exactement la même chose.
C'est un peu déconcertant, je suis d'accord. Mais il faut essayer de voir ça autrement. Tu sais que être un carré implique être un rectangle. Tu peux donc dire que si $A$ est un carré alors c'est un rectangle. Ca te dit aussi que tu ne peux pas trouver de carré qui ne soit pas un rectangle. Maintenant si $A$ n'est pas un carré, est ce que cela te renseigne sur le fait que $A$ est un rectangle ? Absolument pas. Tu peux trouver des cas où $A$ sera un rectangle et un autre cas où il n'en sera pas un.

Je sais pas si c'est très clair, mais c'est une histoire d'habitude, ça viendra avec le temps. Et pour le coup là encore plus que les nombreuses fois où je te l'ai dit. C'est une grosse difficulté que l'on a tous rencontré quand on a commencé la logique.

Ensuite, le soucis de la logique (en maths en tout cas) est d'essayer de coller le plus prés possible avec notre logique d'humain. Tu as néanmoins des logiques où une proposition peut n'être ni fausse ni vraie (ou inversement être fausse et vraie en même temps). Mais là on sort du cadre des mathématiques, et on rentre dans la logique pure et dure (qui rend fou !!).

génial !...c'est vrai que la démence peut vite arriver

situation ubuesque, et comme dirait Raymond Devos mieux vaut en rire tant qu'on peut encore. Mais j'aime bien ce que tu dis quant à voir l'implication comme la négation de P et non Q. merci à toi.

J'en reviens à l'exercice.

Je mets toutes les réflexions que je me suis fait pour aboutir au raisonnement proprement dit.

I°/ Tout d'abord j'ai regardé les tables de vérité, j'ai vu que l'énoncé

"montrer que A$\cup$(B$\cap$C) = (A$\cup$B)$\cap$(A$\cup$C)"
               
fait référence à la propriété de distributivité

P$\vee$(Q$\wedge$R) = (P$\vee$Q)$\wedge$(P$\vee$R)

Table de vérité de disjonction (ou)
P-->V        Q-->V        PVQ-->V                   x$\in$AouB
P-->V        Q-->F        PVQ-->V                    x$\in$AouB
P-->F        Q-->V        PVQ-->V                     x$\in$AouB
P-->F         Q-->F        PVQ-->F



Table de vérité de conjonction (et)
P-->V             Q-->V           P$\wedge$Q-->V       x$\in$BetC
P-->V             Q-->F           P$\wedge$Q-->F
P-->F             Q-->V           P$\wedge$Q-->F
P-->F             Q-->F           P$\wedge$Q-->F


II°/ Si AUB$\Rightarrow$x$\in$A ou B, et si B$\cap$C$\Rightarrow$x$\in$B et C, alors x appartenant à A ou à B dans l'Union implique que x appartient à C par intersection avec B, autrement dit qu'un élément x de C est dans (A union B)                
par (B inter C),      

donc que : x$\in$AU(B$\cap$C)


III°/ "montrer que A$\cup$(B$\cap$C) = (A$\cup$B)$\cap$(A$\cup$C)"

AUB$\Leftrightarrow$BUA (commutativité)
x$\in$A ou B  $\Leftrightarrow$    x$\in$B ou A
B$\cap$C$\Leftrightarrow$C$\cap$B (commutativité)
x$\in$B et C  $\Leftrightarrow$  x$\in$C et B


x $\in$ A$\cup$(B$\cap$C)

$\Rightarrow$  x $\in$ A ou x $\in$ (B$\cap$C)
$\Rightarrow$ x $\in$ A ou x $\in$ (B et  x $\in$C )
$\Rightarrow$ ( x $\in$ A ou x $\in$ B) et (x $\in$C)
$\Rightarrow$  (x $\in$ A ou B) et (x $\in$ A ou C)
$\Rightarrow$  x ($\in$ A$\cup$B) et (x $\in$A$\cup$C)
$\Rightarrow$  (A$\cup$B) $\cap$ (A$\cup$C)

Donc on en conclue que les deux ensembles  A$\cup$(B$\cap$C) = (A$\cup$B)$\cap$(A$\cup$C) sont égaux



woow...fatigant d'écrire tout ça

merci

(à me relire je ne suis vraiment pas plus sûr que ça... )

[quote:d837="piok"]
x $\in$ A$\cup$(B$\cap$C)

[color:d837=#FF0000]$\Rightarrow$  x $\in$ A ou x $\in$ (B$\cap$C)[/color]
$\Rightarrow$ x $\in$ A ou x $\in$ (B et  x $\in$C )
$\Rightarrow$ ( x $\in$ A ou x $\in$ B) et (x $\in$C)
$\Rightarrow$  (x $\in$ A ou B) et (x $\in$ A ou C)
$\Rightarrow$  x ($\in$ A$\cup$B) et (x $\in$A$\cup$C)
$\Rightarrow$  (A$\cup$B) $\cap$ (A$\cup$C)
[/quote]

Ca c'est faux (et ce qui est en rouge ne veut rien dire).
Une table de vérité se remplit comme suit :

$x \in A$ ||||  $x \in B$ |||| $x \in C$ |||| $x \in B \cap C$ |||| [color:d837=#FF0000]$x \in A \cup (B \cap C)$[/color] |||| $x \in (A \cup  B)$ |||| $x \in A \cup C$ |||| [color:d837=#FF0000]$x \in (A \cup B)\cap(A\cup C)$[/color]
 $\ \  V\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V$
$\ \  V\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F$
$\ \  V\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V$
$\ \  V\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F$
$\ \  F\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V$
$\ \  F\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F$
$\ \  F\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    V$
$\ \  F\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \    F$

Toi ce qui t’intéresse c'est les deux colonnes en rouges. S'il elles ont même table de vérité avec les deux assertions sont égales. Désolé pour la présentation mais ca merdait. Pas évident de faire ça sur un forum ....

Salut,

merci Curry, (faudra bien que j'arrive à faire cet exercice !)

Pour le tableau t'en fais pas je sais que c'est vraiment la galère quand il faut mettre ça sur le forum.

Je vais essayer de me débrouiller avec et de le reconstruire comme il faut, en attendant j'ai de quoi m'occuper, et pour le mettre ici je passerai par un hébergeur d'image c'est encore le mieux je crois.
Je te remercie déjà de la direction de travail que tu me donnes, c'est précieux tant il est vrai que je n'ai jamais utilisé en pratique les tables de vérité.

C'est pas un peu chiant de faire ce genre de maths?

Pourquoi tu fais pas des exos en analyse c'est beaucoup plus drôle

Salut PA
Effectivement très drôle  hélas hélaaas je n'ai pas encore suffisamment de discernement en la matière pour faire des choix comme ça mais je te fais confiance, je ne demande pas mieux que de faire des exos pour autant que je sache les résoudre, alors envois

Du reste tu sais, dès que je cherche, que je découvre, que j'apprends, je suis simplement heureux...le top évidemment c'est d'avoir une véritable progression et de devenir bon mais là je ne me fais pas d'illusions, je me découvre un intérêt pour les maths trop tardif et je ne peux y consacrer autant de temps que je voudrais, mais ainsi va la vie 8)

En fait je connais pas ton niveau de base, si t'as fait des études littéraires t'as du arrêter les maths en seconde non?

Car là ce que tu fais comme maths c'est des trucs qu'on voit dans le supérieur. Après faut voir ce qui te plait vraiment dans les maths, si t'aimes la résolution de problèmes concrets ou faire des trucs un peu abstraits tout ça.

A la base, il était intéressé par les nombres, je pense que c'est bien s'il étudie ce qui le passionne, mais effectivement, pourquoi ne pas découvrir d'autres domaines ?

@PA Oui, c'est ça, d'ailleurs je situais mon niveau +- seconde mais niveau non entretenu et pratiqué pendant des années avec un arrière-goût, (ou devrais-je dire "arrière-dégoût) scolaire pas très exaltant...alors que maintenant c'est tout le contraire, j'aime cette matière et si c'était à refaire comme on dit...mais je n'ai pas de nostalgie ou de truc dans le genre, le parcours a été autre simplement mais c'est comme un monde auprès duquel je suis passé sans prendre le temps de m''y arrêter c'est tout

@ Prof J, ça c'est vrai que les nombres c'est la base de toute séduction mathématique, enfin il me semble, ils ont un pouvoir sur moi (et sur l'humanité) qui renvoie à son propre mystère, ils recèlent en eux toute la connaissance que l'on peut se faire de l'homme et du monde.
Donc nécessairement ça mène à mieux vouloir connaître le monde mathématique.

Enfin et pour conclure cet aparté sur un forum de maths, la pratique des maths pour moi s'intègre toujours à une quête, une vision, une connaissance toujours plus profonde de la vie.
Sinon les maths ne serait qu'un jeu amusant à pratiquer ce que je conçois aisément y prenant moi-même du plaisir, mais il me semble que les maths, plus que n'importe quelle autre science, invite à pénétrer toujours plus en profondeur tous les domaines.

Les mathématiques ne m'hypnotisent pas, elles m'invitent, et c'est en soi déjà assez troublant et merveilleux d'être vu par la Reine des sciences !

Tu es le poète du forum

j'ai souvent lu que poésie et mathématiques étaient en harmonie, une certaine manière de voir les choses 8)

Si tu veux rester sur les entiers naturels tu peux essayer de regarder les suites y'a des trucs sympas à faire

merci de tous vos conseils et de votre sympathie, par les temps qui courent ça fait un bien fou.

Je vais regarder les suites aussi et s'il y a des passages un peu hard, je demande...

Je continue aussi d'approfondir la théorie non formalisée des ensembles pour bien la connaître, il me semble que c'est important pour moi de consolider ces bases et de bien les intégrer, ça ne peut que m'aider dans le reste, en plus c'est vous qui me l'avez conseillé...donc...