Algèbre linéaire

Bonjours

J'aurai une question concernant l'algèbre linéaire.

Soit une application linéaire de R³ dans R³ définie par
ƒ(x,y,z)=(4y-4z-x,3y-2z,-x+y)

Je dois montrer que dimKer(ƒ)=1 et trouver un générateur w₁ de ker(ƒ)

Ma question est la suivante peut on trouver la dimension de ker sans passer par le théorème du rang de plus quand il me demande un générateur w1, est que c'est un élément de R³ qui quand on l'injecte dans ƒ nous donne 0 ?

Merci d avance pour vos réponses.

Salut S4ph1r
Est-ce que tu sais ce qu'est la définition du noyau de ton application ?

Yes

Soit x un élément dans R3 tel que f(x)=0

En gros tous les éléments dans R3 qui donne 0 par l'application f

Oui, et tu peux continuer à écrire la suite :

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=ker(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mbox{&space;tels&space;que&space;}f(x,y,z)=0\}=..." target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?ker(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mbox{&space;tels&space;que&space;}f(x,y,z)=0\}=..." title="ker(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mbox{ tels que }f(x,y,z)=0\}=..." /></a>

Soit (e₁,e₂,e₃) la base canonique de R³

ƒ(x,y,z)=0 <=> A×(x,y,z)

Avec "A" la matrice de ƒ dans la base (e₁,e₂,e₃)

Et cela me permet de trouver l'équation du noyau.

Que veut dire f(x,y,z)=0 ?

Qu'un élément (x,y,z)∊R³ par l'application f donne 0

Oui et plus précisément (en utilisant la "formule" de ta fonction) ?

PS : pour écrire des formules mathématiques, tu peux regarder le topic épinglé

4y-4z-x=0
3y-2z=0
-x+y=0

En échelonnant j'ai le système suivant

-x+4y -4z=0
+3y +2z=0
+6z=0

Normalement je devrais avoir 2 lignes de 0 lors du pivot de gauss.
Or là j'en ai aucunes cela veut dire que les 3 vecteurs f(e1) f(e2) et f(e3) sont linéairement indépendant et donc le rang de f = 3 et dim im(f)=3 aussi

Or nous sommes en degré 3 donc dimKer(f)=0
Mais on me demande de montrer que dimKer(f)=1

Je ne comprends pas.

Bonjour, dis moi ce que signifie pour toi : La dimension du noyau vaut 1.

C'est bon j'ai trouvé le résultat il y a eu une erreur au niveau de l'énoncé.

L'application est f(x,y,z)=(4y-4z,-x+3y-2z,-x+y)

j'ai trouvé mon vecteur qui engendré mon noyau de dimension 1
j'ai aussi trouvé l'équation de l'image.

Mais là j'ai une question on me demande de trouver un vecteur non nul w2 tel que f(w2)=w2

Merci d'avance

Petit conseil, si je te dis <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(w_{2})-w_{2}=0" title="f(w_{2})-w_{2}=0" />ça te dit rien ?

Donc si j'ai bien compris

ƒ(w₂)-w₂=0 <=>

(A×w₂)-w₂=0 <=> avec A la matrice de l'application ƒ dans la base canonique.

w²(A-Id)=0 <=> avec Id la matrice identité dans R³

Et maintenant je ne vois pas trop comment continuer

Trouver tous les vecteurs <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?w_{2}" title="w_{2}" /> tels que <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(w_{2})-w_{2}=0" title="f(w_{2})-w_{2}=0" /> revient à décrire un ensemble connu.
Je te cache la réponse, essaie de la trouver tout seul.

Réponse : [hide]Cela revient à décrire l'ensemble <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?Ker(A-Id)" title="Ker(A-Id)" />[/hide]

Je ne vois pas en quoi Ker(A-Id)=w₂

Lorsque je te demande de chercher les x tels que f(x)=0, que me réponds-tu ? Tu me réponds que tu cherche à déterminer le noyau de f, c'est à dire à trouver Ker(f) [ou Ker(A)].
Hé bien là, c'est pareil, tu cherches les x tels que f(x)-x=0, donc tu déterminer le noyau de f-Id, c'est à dire Ker(A-Id).
Compris ?

Yes sa marche merci

Bonsoir

J'aimerai quelques précisions concernant l'algèbre linéaire.

Tout d'abord en quoi si le rang d'une matrice est égale à la dimension de l'espace d'arrivé, cela nous donne que l'application associé à la matrice est surjective.

De plus j'aimerai avoir une explication pour calculer une puissance n d'une matrice à l'aide du binôme de newton.

Merci d'avance

Bonjour ,
C'est quoi pour toi le rang de la matrice associée à l'application ? Son lien avec l'espace d'arrivée ?
Et la définition de la surjectivité d'une application ?

Le rang d'une matrice représente le nombre de pivot après avoir échelonné cette même matrice.
Pour moi une application est dîtes surjective si elle admet au moins 1 antécédent.

Après le liens avec l'espace d'arrivé c'est ma question

Le rang d'une matrice par rapport à son application c'est quoi en fait ?
Et une application est dite surjective si chaque élément de [b]l'espace d'arrivée[/b] admet au moins un antécédent.

C'est la dimension de l'image de cette application

Donc on récapitule, Si la dimension de Im(f) est égale à Dim(F) (où F est l'espace d'arrivée de ton application f) alors f est surjective.
Est-ce que tu vois mieux les choses comme ça ?