Exercice série

Soit <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=$a_{n}>0$" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?$a_{n}>0$" title="$a_{n}$" /></a> une suite de réels >0 tels que <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}}$" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}}$" title="$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}}$" /></a> converge

Montrer que <a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}$$" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}$$" title="$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}$$" /></a> converge.

J'ai essayé l'inégalité de Carlmann sans succès.

Bonjour,

Tout d'abord je te conseille vivement de lire le sujet sur les Règles du Forum, la courtoisie est gage de bonne humeur sur ce site.

Revenons à ton problème, il est vrai qu'il n'est pas facile...
Au premier abord j'ai une décomposition en éléments simples qui me vient à l'esprit. Je ne sais pas si ça peut t'aider à avancer.