[DM 1 ère S] Points Neutres sur la droite Terre Lune

Salut ! Je suis élève en 1 ère S, j'ai reçu mon premier DM de mathématiques, je dois dans le premier exercice déterminer "[b]Si il existe un ou plusieurs points sur la droite qui passe par les centres de gravité de la Terre et de la Lune qui subisent de la part de la Terre et de la Lune des attractions égales ?[/b]" .

On rappelle avant tout la formule : $F=G\times\frac{m_a\times m_b}{d^2}$, où $F$ est une Force exprimée en Newton, $G$ la constante gravitationnelle exprimée en N.m².kg^-2 de valeur $6,67*10^{-11}$N.m².kg^-2, $m_a$ et $m_b$ les masses des deux corps en jeu exprimées en kg et $d$ la distance qui sépare ces deux corps exprimée en m.

Voici ce que j'ai fait :

La force d'attraction qu'exerce la Terre sur un point quelconque s'exprime $F=G\times\frac{6,0*10^24kg}{d²}$, je n'ai mis que la masse de la Terre car un point n'a pas de masse, ce qui pose déjà un problème, puisque je me retrouve avec F=6,67*10^-11N.m².kg^-2(6,0*10^24kg)(d²). Je ne sais pas vraiment comment multiplie $G$ et la masse de la Terre, c'est-à-dire que donne 6,67*10^-11N.m².kg^-2(6,0*10^24kg) ? S'il vous plait.

Merci, Bien à vous, Lavoisier .

DM intéressant !

Je te conseille de ne rien remplacer pour le moment, juste utiliser des lettres.

Tu notes $m_O$ la masse de ton objet, $m_T$ la masse de la Terre, $m_L$ la masse de la Lune, $d$ la distance Terre-Lune, $d'$ la distance objet-Lune et donc $d-d'$ la distance objet-Terre.

Très bien , merci beaucoup pour ta réponse rapide .
Je rappelle l'expression de la Force d'attraction gravitationnelle que la Lune exercerait sur un point situé à une distance d de son centre de gravité :
F = G*(7,3*10^22kg)/(d²) .
DANS TOUT CE QUI SUIVRA , d SERA LA DISTANCE QUI SEPARE LE(S) POINT(S) NEUTRE(S) DU CENTRE DE GRAVITE DE LA TERRE :
On peut donc poser l'équation :
avec mT la masse de la Terre mL la masse de la Lune , D la distance Terre-Lune , et d la distance de la Terre au point .
G*(mT)/(d²) = G*(mL)/((D-d)²)
On simplifie en supprimant G du membre de gauche et de droite .
(mT)/(d²) = (mL)/((D-d)²)
On multiplie par d² :
mT = (mL*d²)/((D-d)²)
On multiplie par (D-d)²
mT*(D-d)² = mL*d²
mT(D²-2dD+d²) = mL*d²
mT*D²-mT*2dD+mT*d² = mL*d²
mT*D²-mT*2dD+mT*d²-mL*d² = 0
Ensuite j'imagine que j'ai une équation du second degrés non ?
Quel est le a , le b et le c s'il te plaît ?

Oui ça semble vraiment pas mal, bravo !!

Rappelle toit que l'inconnue est juste $d$ !

Merci beaucoup , mais du coup pour mon équation comment je la résout ? :aie: .

J'imagine que tu connais un certain $\Delta$

Oui mais quels sont les coefficients a , b et c dans mT*D²-mT*2dD+mT*d²-mL*d² = 0 ? :aie: .

Dis-toi que ton $x$ est $d$ ici, donc à toi de chercher

Tu dois factoriser par $x^2$ pour avoir ton $a$ de $ax^2+bx+c$... etc !

mT*D²-mT*2dD+mT*d²-mL*d² = 0
mT*D²-mT*2dD+d(d*mT-d*mL) = 0
mT*D²-mT*2dD+d(d(mT-mL)) = 0
d(d(mT-*mL)) donnera un truc en d² , donc mon a c'est mT-mL ? Pas l'inverse , c'est bien mT-mL ?
ensuite , il reste mT*D²-mT*2dD , D² est un nombre qui dépend directement de d puisque c'est 3,0*10^8-d ( Distance Terre-Lune-Distance Terre objet = Distance Lune objet ) donc mettre ça au carré me donne 9*10^16-d² , Je suis un peu perdu :/

En fait il faut que tu factorises par $d^2$ pas par $d$ !

mT*D²-mT*2dD+mT*d²-mL*d² = 0
mT*D²-mT*2dD+d²(mT-mL) = 0
Hors D² =  (3,0*10^8-d)² = 9*10^16-6,0*10^8d²+d²
On a donc :
mT( 9*10^16-6,0*10^8d²+d²)-mT*2dD+d²(mT-mL)
9*10^16mT-3,0*10^8-d*2d+d²(2mT-mL-6,0*10^8mT )
Mais je suis presque sur que c'est faux :/ .

Tu as :

$$m_{T}D^2-m_{T}*2*Dd+m_{T}d^2-m_{L}d^2=0$$

Donc en factorisant par $d^2$ :

$$(m_{T}-m_{L})d^2-(m_{T}*2*D)d+(m_{T}D^2)=0$$

Oui mais D dépend de d donc (mTD²) me donne aussi un d²
(mTD²) = mT((3,0*10^8-d)²) = mT(9*10^16-6,0*10^8d²+d² )
Il y'a 10^8+1d² :snif:.

(mT−mL)d²²−(mT∗2∗D)d+(mTD²)=0
(mT−mL)d²−(mT∗2∗D)d+mT(9*10^16-6,0*10^8d²+d² ) = 0
(mT−mL)d²−(mT∗2∗D)d+9*10^16mT-6,0*10^8d²mT+d²mT = 0
(mT−mL)d²−(mT∗2∗D)d-d²(6,0*10^8mT+mT)+9*10^16mT = 0

Mais non, $D$ c'est la distance T-L !

[quote:d0c6="Professeur J"]Mais non, $D$ c'est la distance T-L ! [/quote]
Ah , oui , merci quel idiot :aie: .

Par contre tes formules sont vraiment illisibles

donc
(mT−mL)d²−(mT∗2∗D)d+(mTD²)=0
j'ai mT-mL en coefficient a , mT*2*D coefficient b et mTD² en C ? C'est ça ?
Donc je vais résoudre l'équation , tout à l'heure j'avais essayé des trucs mais j'avais des distances assez hallucinantes :aie: .

[quote:301e="Professeur J"]Par contre tes formules sont vraiment illisibles [/quote]
Je sais pas comment faire pour les rendre lisibles , je ne connais pas Latex .

Fais un clique-droit sur une de mes formules et Show Maths As > Tex commands

[quote:2ea5="Professeur J"]Fais un clique-droit sur une de mes formules et Show Maths As > Tex commands[/quote]

Merci je pourrais calquer sur tes formules quand j'en aurai besoin ce sera plus propre , j'essayerai aussi d'apprendre Latex , merci .
J'ai trouvé ça en remplaçant : 5,927*10^24d²-4,56*10^33d+2,28*10^33 = 0 Est-ce correct s'il te plaît ?
Ensuite j'ai trouvé un delta assez hallucinant puisqu'il est de 2,079359995*10^67 , c'est curieux autant de virgules voire même louche pour un exercice de lycée , les profs ont tendance à faire des trucs qui tombent rond , j'ai fais une erreur ou bien c'est normal ?

J'ai d'ailleurs trouvé une première solution assez étonante : 2,957096548m pour d , c'est faux , c'est certain ou est l'erreur s'il te plaît ?