exercice de suite numerique avec systeme d'equation

bonjour à tous
j'ai pas l'habitude de resoudre des suites numeriques qui ressemble à des equations de systemes du coup je m'y retrouve pas du tout .
On definit les suites (U_n)_n$\ge$0 et (V_n)_n$\ge$0 par

.U₁+U₂+U₃=9
.U₁²+U₂²+U₃²=35 , V_n=e^U_n

1)sachant que U_n)_n$\ge$0 est une suite arithmetique croissante , calculer son premier terme U₀ et sa raison r
2)on suppose maintenant que U₀=-1 et r=2 . Montrer que (V_n)_n$\ge$0 est une suite geometrique dont on calculera le premier terme et la raison
3)soit p_n=e^U₀x e^U₀x...x e^U₁xe^U_n
exprimer Pn en fonction de n

je peux résoudre les deux autres questions si j'arrive à déterminer la première question
c'est un exercice très important que je cherche à comprendre
merci d'avance pour votre aide

Pour la première question tu devrais écrire ce que veut dire $(u_n)$ est arithmétique Wink

je sais bien qu'une suite arithmétique est de la forme : Un+1=Un+r
mais je ne vois pas comment faire sortir cette forme

.U₁+U₂+U₃=9

donc je remplace U₁ par U₀+r donc j'obtiens en tout :
U₀+r+ U₀+2r +U₀+3r =9

Ton exo demande une assez grande réflexion, surtout la première question, donc ça va prendre un peu de temps.

Quand tu écris "ce qui donne finalement", tu as déjà une erreur sur le résultat. Corrige ça et je t'aide pour la suite Wink

Professeur J a écrit:Ton exo demande une assez grande réflexion, surtout la première question, donc ça va prendre un peu de temps.

Quand tu écris "ce qui donne finalement", tu as déjà une erreur sur le résultat. Corrige ça et je t'aide pour la suite

AH okay donc j'attend de voir comment résoudre ce exercice

Bon voilà comment je l'aurais fait pour ma part, après attend une confirmation de ProfJ pour être certain que je ne me sois pas trompé ^^

Spoiler:: (Un) est une suite arithmétique donc on a: $$Un+1 = Un + r$$
Ainsi tu as: $$U1+U2+U3=3U0+6r=3(U0+2r)$$ puis $$U1²+U2²+U3²= (U0+r)² + (U0+2r)² + (U0+3r)²= 3U0² + 12U0r + 14r²$$

Tu peux maintenant résoudre ton système: $$3(U0+2r)= 9$$ et $$3U0² + 12U0r + 14r²= 35$$

D'où: $$U0= 3 -2r$$ et $$3U0² + 12U0r + 14r²= 35$$

Puis en remplaçant U0 dans ta deuxieme équation: $$U0= 3 -2r$$ et $$3(3-2r)² + 12(3-2r)r + 14r²= 35$$

Tu développes: $$U0= 3 -2r$$ et $$3(9-12r+4r²) + (36-24r)r + 14r²= 35$$

Et tu réduis le tout: $$U0= 3 -2r$$ et $$27-36r+12r²+36r-24r²+14r²= 35$$

Tu as donc: $$U0= 3 -2r$$ et $$2r²=8$$

Et tu en déduis les valeurs possibles pour r et U0: $$r=2$$ ou $$r=-2$$ et donc $$U0=-1$$ ou $$U0=5$$

PS: désolé pour les indices et les accolades que je ne sais pas faire Very Happy

@Azertybob a écrit:Bon voilà comment je l'aurais fait pour ma part, après attend une confirmation de ProfJ pour être certain que je ne me sois pas trompé ^^
Spoiler:
(Un) est une suite arithmétique donc on a: $$Un+1 = Un + r$$
Ainsi tu as: $$U1+U2+U3=3U0+6r=3(U0+2r)$$ puis $$U1²+U2²+U3²= (U0+r)² + (U0+2r)² + (U0+3r)²= 3U0² + 12U0r + 14r²$$

Tu peux maintenant résoudre ton système: $$3(U0+2r)= 9$$ et $$3U0² + 12U0r + 14r²= 35$$

D'où: $$U0= 3 -2r$$ et $$3U0² + 12U0r + 14r²= 35$$

Puis en remplaçant U0 dans ta deuxieme équation: $$U0= 3 -2r$$ et $$3(3-2r)² + 12(3-2r)r + 14r²= 35$$

Tu développes: $$U0= 3 -2r$$ et $$3(9-12r+4r²) + (36-24r)r + 14r²= 35$$

Et tu réduis le tout: $$U0= 3 -2r$$ et $$27-36r+12r²+36r-24r²+14r²= 35$$

Tu as donc: $$U0= 3 -2r$$ et $$2r²=8$$

Et tu en déduis les valeurs possibles pour r et U0: $$r=2$$ ou $$r=-2$$ et donc $$U0=-1$$ ou $$U0=5$$

PS: désolé pour les indices et les accolades que je ne sais pas faire

Ouah, c'est vraiment bien !!! Il manque juste un petit truc pour conclure : faut se rappelle de la croissance de la suite Wink

Ah oui effectivement du coup la raison est positive donc $$r=2$$ et $$U0=-1$$

Merci beaucoup je comprend mieux maintenant mes erreurs

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