Somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait

Salut

Donc dans mon DM de spé maths, à l'aide d'un algo on a pu conjecturé que la somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à 2.
Comment le démontrer?

Merci d'avance.

PS: si possible, ne donnez pas la démo d'un coup mais si vous pouviez me donner des indices pour que je la découvre moi même, ce serait encore plus top

En fait je sais que si on pose S(n) la somme des diviseurs et S'(n) la somme des inverses des diviseurs on a,  puisque n est un nombre parfait,: $$S(n) = 2n$$ puis $$S'(n)= \frac{S(n)}{n}$$ et donc $$S'(n)= \frac{2n}{n}=2$$

Le probleme c'est que je ne sais pas comment démontrer $$S'(n)= \frac{S(n)}{n}$$

Salut, et sympathique exercice

La démonstration que je connais utilise le fait que la liste des diviseurs d'un nombre $n$ (parfait ou non) peut s'écrire :

$$Diviseurs(n)=\{\frac{n}{d_{1}};\frac{n}{d_{2}};...;\frac{n}{d_{k}}\},$$

où les $d_{i}$ pour $i=1,\cdots,k$ sont les diviseurs de $n$. Ensuite, tu utilises ce résultat pour un nombre parfait. En utilisant le fait que ce nombre est parfait... tu devrais arriver au résultat.

Ah oui merci je pense avoir trouvé:

$$S(n)=\frac{n}{d_{1}}+\frac{n}{d_{2}}+...+\frac{n}{d_{k}}=2n$$ donc:$$S'(n)=\frac{d_{1}}{n}+\frac{d_{2}}{n}+...+\frac{d_{k}}{n}$$ d'où: $$S'(n)=\frac{S(n)}{2}=2$$