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demontrer par recurrence une inégalité


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dllkevin


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Bonjour ,
j'ai un exercice que je n'arrive pas à resoudre:

n$^{n+1}$> n+1$^{n}$ avec n$\geq$3

je bloque au niveau de l'hérédité ,
quelqu'un pourrait il m'aider ?
Merci d'avance SVP

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$> (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.

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dllkevin


Posteur Motivé
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j'ai du mal à suivre avec sa :
(n+1)(n+1)$^{n+1}$=(n+1)($\frac{n+1}{n}$)$^{n+1}$n$^{n+1}$

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Professeur J

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Salut, tu as :

$$(n+1)(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^{n+1}\frac{n^{n+1}}{n^{n+1}}$$

Il a juste multiplié par $1$, puis réarrangé.

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dllkevin


Posteur Motivé
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$\frac{n^{2}+2n+1}{n}$>n+2 , on sait que n$^{2}$+2n+1=(n+1)$^{2}$ or d'apres la recurrence c'est > à n$^{n+1}$ d'ou $\frac{(n+1)^{2}}{n}$>n+1
c'est bien ça ? je me demande si je suis bien la logique

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Si tu montres $\frac{n^2 +2n+1}{n} > n+2$ tu auras $(\frac{n^2 +2n+1}{n})^{n+1} > (n+2)^{n+1}$, et donc tu as gagné.

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PouletAtomique

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Posteur Confirmé
Posteur Confirmé
T'as juste à multiplier par n des 2 côtés maintenant et voilà c'est réglé :p

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dllkevin


Posteur Motivé
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@dllkevin a écrit:$\frac{n^{2}+2n+1}{n}$>n+2 , on sait que n$^{2}$+2n+1=(n+1)$^{2}$ or d'apres la recurrence c'est > à n$^{n+1}$ d'ou $\frac{(n+1)^{2}}{n}$>n+1
c'est bien ça ? je me demande si je suis bien la logique
docn ce n'est pas correcte , ma demonstration ?

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dllkevin


Posteur Motivé
Posteur Motivé
@Curry a écrit:Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$> (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.
vous allez peut être me trouver un peu ennuyeux mais je ne comprend pas ce que tu as voulu dire par la :
$ > (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici) qu'est ce qui devrait se trouver du côté gauche?

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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En fait, il s'est trompé, il fallait lire $(n+1)^{n}$ à la place de $(n+1)^2$ !

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dllkevin


Posteur Motivé
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@Curry a écrit:Salut,
Tu voulais surement écrire $$ n^{n+1} > (n+1)^n \text{ avec } n \geq 3$$

Bon, j'ai une solution, mais je pense qu'on peut avoir beaucoup plus simple : On suppose que $n^{n+1} \geq (n+1)^n$, et on veut $(n+1)^{n+2} \geq (n+2)^{n+1}$.
$(n+1)^{n+2} = (n+1) (n+1)^{n+1} = (n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$
$> (n+1)  (\frac{n+1}{n})^{n+1} (n+1)^2$  (j'utilise l'hypothèse de récurrence ici)
$ x > (n+1)^{n+1}  (\frac{n+1}{n})^{n+1}$
$ x > (\frac{(n+1)^2}{n})^{n+1}$
$x > (\frac{n^2 + 2n + 1}{n})^{n+1}$

Si tu montres que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n}) > n+2$, tu as gagné.
oui je vois , mais qu'est ce qui devrait se trouver ou j'ai mis les x ?

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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C'est juste le $(n+1) (\frac{n+1}{n})^{n+1} n^{n+1}$ d'au-dessus

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dllkevin


Posteur Motivé
Posteur Motivé
je pensais qu'on se servait de l’inégalité départ , pas d'une seul partie seulement

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Oui effectivement petite erreur de ma part.
Les > sans rien devant c'est pour éviter de tout écrire sur la même ligne :
$x>y$
$> z$
signifie $x>y>z$.

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dllkevin


Posteur Motivé
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@Curry a écrit:Si tu montres $\frac{n^2 +2n+1}{n} > n+2$ tu auras $(\frac{n^2 +2n+1}{n})^{n+1} > (n+2)^{n+1}$, et donc tu as gagné.
mais vous avez ignoré ma demonstration , ou bien ce n'est pas correcte ?

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Désolé encore une bourde, décidément :
$x > y$
$ > z$
signifie
$x > y$
$x > z$

Quant à ta démonstration je ne vois pas comment tu utilises l'hypothèse de récurrence ! Tu n'as pas besoin de l'utiliser.
Pour montrer que $\frac{n^2 + 2n + 1}{n} > n+2$ tu as juste à mettre les n du même coté, et mettre au même dénominateur et c'est réglé.

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dllkevin


Posteur Motivé
Posteur Motivé
Ah je vois Merci beaucoup

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