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[Terminale S] Démontrer qu'une suite est >0


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OHV

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Bonjour je découvre ce site qui promet Very Happy

Voila j'ai un exercice assez long que j'ai presque fini, mais je n'arrive pas à faire quelques questions.

On a X(n+1)=1/(1+Xn) avec Xo=1

La question étant de démontrer que pour tout n Xn>0

Vous pouvez me donner une piste svp? Rolling Eyes

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Professeur J

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Salut OHV,
Tu peux le faire très facilement par récurrence par exemple Smile

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OHV

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Posteur Débutant
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On sait que la proposition est vraie au rang 0 Xo=1 et X1= 1/2

Xo>X1

Supposons qu'elle soit vraie au rang k

Xk>0

Montrons qu'elle est vraie au rang k+1

X(k+1)>0

soit

1/(1+Xk)>0

ensuite la proposition est vérifiée ou j'ai zappé une étape? :p

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Professeur J

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Alors, plusieurs choses à corriger.
Pour le rang 0, tu dois juste montrer que x_n > 0, donc pour n = 0, on a bien x_0 = 1 qui est bien supérieur à 0.
Ensuite tu supposes que x_k > 0 et tu dois montrer x_(k+1) > 0.
Or x_(k+1) = ... ?
Je te laisse faire la suite. Hésite pas à poser des questions Smile

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OHV

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Posteur Débutant
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A oui Xo=1 or 1>0 ( affraid ) donc j'ai juste à mettre ça pour l'initialiser x)

Ensuite je sais que x_(k+1)= 1/(1+X_k) et là je bloque Sad

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Professeur J

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Par hypothèse de récurrence, tu sais que x_(k) > 0 donc tu peux déduire quoi sur x_(k+1) ?

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OHV

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Et bien que x_(k+1) >0

en même temps c'est qu'on cherche à prouver silent


Sinon sans récurrence on peut pas dire qu'au numérateur on a 1, constament positif

Au dénumérateur on a 1 + Xn avec Xn ayant 1 pour valeure minimum (Xo)

Or la division D'un positif par un positif donne un nombre positif.



Même si le résonne par récurrence est adéquate

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Professeur J

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Ce que tu viens de dire c'est ce qui te permet de conclure sur ta récurrence.
x_(k+1) = 1/(1+x_(k)) or, par hypothèse de récurrence x_(k) > 0, donc 1/(1 + x_(k)) > 0 donc x_(k+1) > 0.

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OHV

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Ah oui 1 étant positif 1+Xn l'est forcement pour vérifier l'inéquation Very Happy

donc x_(k+1) >0


Merci pour l'aide, ensuite on me demande de démontrer que pour tout n, Xn est rationnel.

Soit un rationnel un nombre qui s'écrit sous la forme p/q avec ces deux derniers entiers.

Il faut aussi faire un résonnement par récurrence?

Avec Xo=1=1/1 p=q=1 ?

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Professeur J

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Oui c'est pas mal, tu peux continuer comme ça Smile

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OHV

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Je sais pas du tout comment continuer le raisonnement pale


Edit : au rang 0 Xo= 1/1 donc rationnel

Supposons que X_k= p/q

Montrons que X_k+1 = p/q

X_k+1 = 1/(1+X_k) équivaut à 1/(1+p/q) équivaut 1/(q+p)/q

équivaut à q/(p+q)

Question

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Professeur J

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Oui c'est exactement ça Smile

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OHV

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Ok merci pour le coup de main, le reste ça va aller Very Happy

Je recommanderais ton site à mes amis!

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Professeur J

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Super, hésite pas à en parler oui, et à aimer la page Facebook Smile Je verrouille le topic vu qu'on a fini. Bonne soirée !

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