Inégalité de concavité !

Salut salut,  

Je reviens à la charge après quelques semaines ahah !

Bref je besoin de vous pour un petit truc.

Donc j'ai un exo sur la concavité c'est à dire que

J'ai 2 questions j'ai fais la 1 et là je bloque à la deux car j'ai pas "l'astuce de calcul" comme m'a dis mon prof. Donc je viens vous voir car je cherche en vain sans rien de logique je suis perdu !

Je dois déduire que : $\forall x,y\geq 0$ : $(x+p)^p\leq x^p+y^p$                            
 [b]AVEC $p \epsilon ]0,1][$ [/b]   

(le $\epsilon$  c'est pour l'appartenance j'ai pas trouver le latex pour le symbole ahah)

Sachant que j'ai établi à la question avant que $(1+t)^p\leq 1+t^p$ en m'aidant du théorème des inégalité d'accroissement fini etc

D'après mon prof ça se résoud en 3 lignes mais je vois pas vraiment comment, j'ai pas envie de partir sur des études de fonction super farfelu avec les puissance non entière etc

Merci de votre aide !

J'ai pas beaucoup dormi cette nuit donc ptet je dis n'imp

Pour x et y qui sont tout les deux nuls ou juste 1 des 2 nuls bah le résultat est ok

Maintenant pour x et y strictement positif on a : $(x+y)^{p}=[x(1+\frac{y}{x})]^{p}=x^{p}*(1+\frac{y}{x})^{p}$

Or tu as montré que $(1+t)^{p}\leq 1+t^{p}$

Tu as donc $(x+y)^{p}\leq x^{p}*(1+(\frac{y}{x})^{p})$

D'où le résultat je crois

J'étais en train d'écrire je viens de rentrer chez moi haha, je penses avoir trouver cette aprem avec des amis :

Ce que j'ai fais :
$(x+y)^p\leq x^p+y^p$
$x(1+\frac{y}{x})^p\leq x^p + y^p$
$(1+y)^p\leq 1+\frac{y^p}{x}$
(edit : du $\frac{y}{x}$

Voilà ce que j'ai fais !


Et comme j'ai démontrer la question d'avant etc.. bah je penses que ça marche ?

Non c'est faux en plus niveau logique c'est pas bien car tu pars du résultat

C'est faux ?

[quote]$(x+y)^p\leq x^p+y^p$
$x(1+y)^p\leq x^p + y^p$[/quote]
Est faux

$(x+y)^p\leq x^p+y^p$
$\Leftrightarrow $$x^p(1+\frac{y}{x})^p\leq x^p + y^p$

Ah oui pardon j'ai oublier le\frac{}{} ! Mais oui pour le y/x c'est sur

Mais je dois laisser la puissance sur le $x^p$ en factorisation ?

Oui

$(x+y)^p=(x(1+\frac{y}{x}))^p=x^p(1+\frac{y}{x})^p$

Ah oui en effet vue comme ça oui j'ai clairement tord.

Mais donc comme j'ai fais c'est bon ou je dois prendre ce que poulet atomique ma fait ?

Il vaut mieux éviter de commencer un raisonnement par ce que tu veux trouver.

Le raisonnement de PouletAtomique est bon, tu peux le prendre.

Ok ok super merci les amis !