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[DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Lun 2 Mai - 15:12
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut tout le monde,

Le but c'est de mettre quelque exercices sans prises de tête, la correction ou enfin une ébauche sera publiée en fin de semaine ! Pour ceux qui ont trouvés la solution, essayer d'utiliser les balises spoilers ! Very Happy

J'en mets quelque uns de difficulté variable, on va voir les courageux :hap:

1) Un exo de proba :

J'ai 3 cartes. Une carte noire des deux côtés. Une carte blanche des deux côtés. Et une carte blanche d'un côté et noire de l'autre.
Je tire une carte au hasard et je la pose sur la table. La face visible est blanche. Quelle est la probabilité que l'autre face soit blanche aussi?

2) Une limite de suite:

Si on pose :
$U_0 = 17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$

Quelle est la limite de $n*U_n $?

3) Celui là va vous mettre en sang




réponse:
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Lun 2 Mai - 15:20
Petite précision:
Je rends à César ce qui est à César, ce sont des exos trouvés sur jvc Very Happy
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 12:38
Bon allez je m'y colle Smile

1)
Spoiler:
On sait que un des faces est blanche et on veut connaître la proba que l'autre face soit également blanche. Autrement dit, on cherche la proba de tirer la carte blanche des deux côtés. P(BB) = 1/3

2)
Spoiler:
En calculant les premiers termes on peut émettre deux conjectures :
1) La suite prend des valeurs positives
2) La suite est décroissante

Démontrons la première conjecture par récurrence :
Initialisation : on vérifie pour n=0
$U_0=17>0$

L'hypothèse est vérifiée pour n=0

Hérédité : on suppose que $>U_n>0$, on montre que $U_{n+1}>0$
$U_n>0$
$1+U_n>0$
$ln(1+U_n)>0$  par croissance de la fonction ln

Conclusion : $\forall n\in \mathbb{N} \quad U_n>0$


Démontrons la deuxième conjecture :
$\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{ln(1+U_n)}{U_n}$

Soit la fonction de $\mathbb{R}^{+*}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{ln(1+x)}{x}$
$f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x}x-ln(1+x)}{x^2}=\frac{x-(1+x)ln(1+x)}{x^2(1+x)}$

Le dénominateur est strictement positif est il est clair que $x<(1+x)ln(1+x)$
Par conséquent $f'(x)<0$, donc $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$
On en déduit que $\frac{U_{n+1}}{U_n}<0$

En conclusion :
Notre suite est décroissante mais reste toujours positive, c'est à dire que sa limite vaut 0. (la valeur de $U_n$ va sans cesse diminuer mais sans jamais passer en dessous de 0)

Finalement $lim_{n\to \infty}nU_n = n\times 0=0$

3)
Spoiler:
Bon faut pas rêver ....j'ai rien pigé à celui-ci ^^
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 13:45
dark02
2):
$0*\infty$ est une forme indéterminée Very Happy
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 13:53
oups ! Embarassed
je rechercherais plus tard .... grrr
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mar 3 Mai - 14:00
Hahaha
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 16:58
Réputation du message : 100% (1 vote)
Bon je me lance Smile

1)
Spoiler:

On a une face blanche donc on a soit :

  • La carte blanche des deux côtés 
  • La carte blanche d'un côté et noire de l'autre.

On cherche la probabilité d'avoir un carte blanche des deux côtés donc 1/2

2)

Spoiler:


Si on pose :
$U_0 = 17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$


$Soit f(x)=ln(1+x)-x$
Définit sur $]-1,\infty[$

$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1$
$\forall x\geq 0$   $\frac{1}{1+x}\leq 1$
$\Leftrightarrow   \frac{1}{1+x}-1\leq 0$
$\Leftrightarrow   ln(1+x)-x$ decroissante sur $[0,\infty[$
$ f(0)=ln(1+0)-0=ln(1)=0$
$\Leftrightarrow \forall x> 0$   $ln(1+x)-x<0$
$\Leftrightarrow \forall x> 0$   $ln(1+x)< x$

On a prouver que 
$\forall x> 0$   $ln(1+x)< x$
De plus $\forall x>0$   $1+x>1$ $\Leftrightarrow$ $ln(1+x)>0$

$U_0=17$
$U_{n+1} = ln(1+U_n)$

D’après ce que l'on a vu précédemment
$\forall n\in\mathbb{N}$
$0< U_{n+1}=ln(1+U_n)< U_n$
On en deduit que $U_n$ tend vers $0$


Pour N très grand $U_n=U_{n+1}=ln(1+U_n)=ln(1)=0$ Car $U_n$ tend vers $0$

On en déduit que $lim$ $n*U_n =lim$ $n*ln(1)=lim$  $ln(1^n)=lim$ $ln(1)=0$


3)

Spoiler:

WTF Shocked confused
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 17:11
Ta réponse à l'exo 1 est fausse ! Very Happy

Je regarderais ce soir ta réponse pour l'exo 2 :p
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 17:41
Bon dans ce cas pour la 1


Spoiler:

On tire une carte blanche d'un coté on veut que l'autre coté soit blanc aussi, donc on cherche la carte blanche des deux cotés
Donc 1/3

J'hésitait entre ça et la réponse que j'ai posté plus tôt.

Surtout qu’après réflexion, c'est ce qui est le plus logique.

Par contre si c'est pas ça, j'ai plus aucune idée    silent
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 4 Mai - 22:18
Réputation du message : 0% (1 vote)
La réponse est correcte mais la justification est pas celle "attendue" mais c'est OK Very Happy
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 11 Juil - 14:52
Bonjour,
Où se trouve la publication de la correction ?
J'aimerais bien que l'on m'explique la solution du premier exercice. Idea
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Re: [DEFIS bac +1/+2] 1er défi hebdomadaire !!

le Mer 11 Juil - 16:34
Bon alors je m'y colle.
J'ai lu la solution sans explication mais tout de même la solution proposé par PouletAtomique.
Toutefois je ne suis pas d'accord.
Merci de prendre soin de me démontrer le contraire Smile

Spoiler:

Nous avons 3 cartes et donc six faces.

1- Le premier résonnement peut être 1 chance sur 3 de tirer la carte Blanc/blanc.

2- On peut aussi se dire vu que la face de la carte est visible et qu'elle est blanche.
Il ne reste donc que deux choix soit c'est la carte  Blanc/blanc soit la Blanc/Noir
Et donc une chance sur deux

3- On peut aussi se dire qu'il y a 3 faces blanche.
La carte blanc/blanc a 2 face blanche et la carte Blanc/noir une seule face blanche.
Dans l'énoncé du problème tel qu'il est fait :
Quel est la probabilité que ce soit la carte Blanc/Blanc si la face de la carte tirée est Blanc.
2 chance sur trois pour que ce soit  la carte blanc/blanc
1 chance sur trois pour que ce soit la carte Blanc/noir

En conclusion la réponse au problème est :
2 chances sur trois que ce soit la carte Blanc/Blanc.
Soit 2/3

Explication :
La carte Noir/Noir n'a aucune influence sur le résultat.
Que ce soit fait avec seulement les 2 cartes Blanc:Blanc et Blanc/Noir ou avec l'ajout d'autre carte sans couleur Blanc sur une face ne change rien. Vous pouvez ajouter 98 cartes Noir/Noir cela ne changera rien.
Partant de ce constat la réponse 1 et le raisonnement sont faux.

Pour mieux comprendre prenons deux dés à 10 face tel que nous ne voyons qu'une face.
Le premier dé a 9 face noire et une face blanche
Le second dé a 10 face blanche.
On prend un des deux au hasard.
On jette le dé si sa face visible est blanche. c'est ok sinon on recommence jusqu'à que ce soit une face blanche.
Quelle probabilité y a t il pour que le dé avec cette face visible blanche soit celui où toutes ses face sont blanches...
Il y a 11 faces blanches en tout.
Le premier dé a une chance et une seule (vu qu'il n'a qu'une face blanche) d'être l'heureux élu.
Le second dé a 10 chance d'être l'élu Smile
Sur combien de chance ?
10+1=11 face blanche en tout
Donc 1 chance sur 11 pour le premier dés et 10/11 pour le second.
On est loin des 1 chance sur 2.
Et si on ajoute un dé qui possède que des face noire il ne sera jamais l'élu.
Donc il n'intervient pas et on peut en ajouter tant qu'on veut cela ne changera rien.


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