Suite numérique (2)

Voici l’énoncé du sujet (exercice 2)[url=https://servimg.com/view/20128931/1][img]https://i.servimg.com/u/f78/20/12/89/31/fe980310.jpg[/img][/url]

Re-bonjour, pour commencer, attention à la formulation de ta conjecture.
On peut conjecturer que $u_n=\frac{1}{n^2+1}$ (il y avait une erreur).

L'idéal ensuite est d'effectuer un raisonnement par récurrence. Après nos discussions en privé, voici les étapes du raisonnement :

Nous allons démontrer par récurrence que $u_n=\frac{1}{n^2+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

[b]Initialisation :[/b] Pour $n=0$, on a $\frac{1}{n^2+1}=\frac{1}{0^2+1}=1=u_0$ donc la propriété est vraie au rang $0$.

[b]Hérédité :[/b] Supposons que la propriété est vraie à un rang $n$ fixé, c'est-à-dire que l'on a $u_n=\frac{1}{n^2+1}$ (ceci est appelé l'hypothèse de récurrence). Partant de cela, on veut démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$, c'est-à-dire que $u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2+1}$. Or, d'après l'énoncé, on a :

$u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n(1+2n)}$

puis en remplaçant $u_n$ par l'hypothèse de récurrence, on obtient :

$u_{n+1}=\frac{\frac{1}{n^2+1}}{1+\frac{1}{n^2+1}(1+2n)}$

Ensuite, je vous laisse simplifier l'écriture pour arriver à :

$u_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2+1}$

On vient de montrer que la propriété était vraie au rang $n+1$.

[b]Conclusion :[/b] La propriété est vraie au rang $0$ et on a montré qu'elle était héréditaire. Elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.