Incompréhension d'un calcul

Bonjour,
[url=http://www.ilemaths.net/sujet-suites-ce-calcul-est-il-bon-647103.html#msg5490173]Voici la description de mon problème[/url]
Je ne comprends pas mon erreur
Merci de votre aide.

Salut !
Quand tu passes de la deuxième à la troisième ligne, tu as mis un $-$ à la place d'un $+$

[quote:c9c3="Professeur J"]Salut !
Quand tu passes de la deuxième à la troisième ligne, tu as mis un $-$ à la place d'un $+$ [/quote]

En fait ce n'est pas moi qui ai fait le calcul, j'ai juste poster ce calcul sur un forum et tout le monde m'a dit que c'était bon selon cette règle : [img]http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?a-b+c=a-b-(-c)=a+(-1)\times%20b+(-1)\times%20(-c)=a+(-1)\times[b+(-c)]=a+(-1)[b-c]=a-[b-c][/img]
Moi quand j'ai fait le calcul j'ai bien mis n+2+1 à la fin.
http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1-\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{red}{-}1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-[\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{-1}{(n+1)(n+2)}]\\\\=1-\frac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}\\\\
Voilà ce qu'un forumeur d'ilemaths m'a dit, et il prétend que le - est en facteur

C'est quoi le vrai calcul de départ ?^^ On s'y retrouve plus là

[img]https://2img.net/image.noelshack.com/fichiers/2015/37/1442080600-comprension.png[/img]

Je me demande si le calcul est bon parce que moi à la fin je trouve n+2+1/(n+1)(n+2).
Sur un autre forum, on m'a expliqué que ce calcul était bon car le - de la 2nde ligne était mis en facteur.
http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1-\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{red}{-}1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-[\frac{(n+2)}{(n+1)(n+2)}+\frac{-1}{(n+1)(n+2)}]\\\\=1-\frac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}\\\\=1-\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}\\\\
Précisément à cause de cette règle de calcul:
[img]https://2img.net/r/ihimizer/a/img673/5452/tRduII.gif[/img]
(Tous les times veulent dire "x" (fois))

Oui en fait, ton erreur est sur cette ligne :
$$1-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
En fait, c'est égal à :

$$1+\frac{-n-2}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Si tu veux pouvoir additionner directement les deux fractions, donc finalement ça vaut :

$$1+\frac{-n-2+1}{(n+1)(n+2)}$$

qui est aussi égal à

$$1+\frac{-n-1}{(n+1)(n+2)}$$ ou (encore) :

$$1-\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}$$