DM de Spé maths : Gauss et Bezout

Bonjour, on me demande deux ROC dans ce DM : la première étant de démontrer Gauss par Bezout (facile et rapide), la deuxième demande de démontrer que :
Si $a ≡ 0 (p)$ et $a ≡ 0 (q)$ alors $a ≡ 0 (pq)$. J'ai beau cherche, je ne vois pas comment faire ni même par où commencer.


Dans une autre partie, on veut étudier l'ensemble $S$ des solutions de :
$n ≡ 9 (17)$
$n ≡ 3 (5)$

On affirme 17u+5v=1 (possible car 17 et 5 sont premiers entre eux, théorème de Bezout). On demande ensuite de démontrer que $n0 = 17u*3+9*5v$ est une solution. Là encore, ça paraît logique, mais j'ai tenté par les congruences, ou en partant de l'égalité de Bezout et en transformant, mais rien ne marche.

Salut Dérivation, j'ai vraiment une mauvaise connexion là où je suis actuellement. Je pourrai te répondre à partir de demain soir si ça te va

Pas de problème, j'ai encore environ une semaine pour le faire et j'ai (malheureusement) bien d'autres devoirs pour m'occuper en attendant... ^^

Salut ! Il faut pas oublier de nous donner toutes les hypothèses... J'imagine que $p$ et $q$ sont premiers entre eux... Que veut dire concrètement que $a\equiv 0\mod p$ et idem avec $q$ ? Ensuite, il faudra appliquer Gauss

Ah oui, en effet, $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Et du coup...

$a = k*p$
$a = l*q $

avec $k$ et $l$ des entiers ?

Et comment applique-t-on Gauss dans cette situation ?

Oui c'est ça, juste au niveau de la rédaction il faudra dire "il existe $k$ tel que..." etc. Ces deux égalités t'en donnent une troisième : $kp=lq$. C'est maintenant qu'il faut appliquer Gauss.

Ah...Je vois. Je vais tenter ça alors, merci !

Et pour la deuxième partie ?

En effet, la démonstration est vraiment simple à partir de là (d'ailleurs, on peut très bien n'appliquer Gauss que dans un sens et ça suffit, non ?), et j'ai pu faire une ou deux autres questions, mais je reste bloqué pour ça :

Dans une autre partie, on veut étudier l'ensemble S des solutions de :
n≡9(17)
n≡3(5)

On affirme 17u+5v=1 (possible car 17 et 5 sont premiers entre eux, théorème de Bezout). On demande ensuite de démontrer que n0=17u∗3+9∗5v est une solution. Là encore, ça paraît logique, mais j'ai tenté par les congruences, ou en partant de l'égalité de Bezout et en transformant, mais rien ne marche.

Ah excuse j'avais oublié que t'avais une autre question Il faut écrire
$n_0=17u\times 3+9\times 5v=3(17u+5v)+6\times 5v$
Pour la première congruence !

Et bien sûr après il faut utiliser le fait que $17u+5v=1$, mais je te laisse faire

Aaaah...Je vois, je vais essayer avec ça.
Merci bien !

Du coup pour la première congruence c'est bon, mais je peine pour la deuxième...Comment prouver que $n0≡9(17)$ ? Parce que $17u*3≡0(17)$, ça c'est clair, mais on ne peut rien dire sur la congruence de 9*5v modulo 17, si ? Et je ne trouve pas d'autre manière d'écrire n0 qui soit intéressante pour la congruence modulo 17...

Pour la deuxième congruence, tu écris $n_0=9(17u+5v)-...$
J'ai laissé "..." pour que tu trouves toi-même

Ahhh ! Mais oui ! J'avais pas pensé à faire ça, probablement à cause du moins, mais je vois. Ça donne $9(17u+5v) - 6*17u$ , c'est ça ? Et du coup la congruence modulo 17 est un jeu d'enfant. Merci !

Du coup j'avais cherché un peu sans trouver la troisième et dernière question de cette partie, qui est : "Donnez un exemple d'entier n0 solution de ce système."
Là il faut trouver des coefficients u et v particuliers, c'est ça ? Mais vu qu'on n'a pas une égalité de Bézout, et que les coefficients qu'on pourrait trouver pour 17u+5v=1 ne marchent pas, comment faire ?

Oui tu dois trouver une solution particulière

Justement, comment faire pour trouver une solution particulière ?

Et du coup la dernière question de l'exercice (la seule que je n'ai pas réussie jusque-là avec celle de la solution particulière) c'est de montrer que l'ensemble des solutions sont les nombres qui peuvent s'écrire $n=85k+43$, sachant qu'on a prouvé au préalable que $n-n0≡0(85)$. J'ai pensé à tenter de montrer que $n0≡43(85)$, mais je n'y arrive pas, et je ne vois pas comment faire autrement.

Pour la solution particulière tu as le choix, soit tu tâtonnes un peu et tu en trouves une (pas trop compliqué), soit tu pars du fait que $17=3\times 5+2$ donc $2=17-3\times 5$ et du fait que $5=2\times 2+1$.

Il faudrait déjà faire ça, puis je t'aiderai pour la suite (désolé pour le temps de réponse, temps de fêtes^^).

J'arrive pas à en trouver en tâtonnant...Et je ne comprends pas en quoi ce que vous avez écrit peut aider, on ne cherche pas des coefficients de Bézout...?

Parce que du coup, avec ce que j'ai écrit, tu as :
$1=5-2\times 2$ puis tu remplaces $2$ par $17-3\times 5$.

Ben, ça donne $1 = 5 - 2 * (17 - 3 * 5) = 5 - 2a + 6b$ (en appelant a et b 17 et 5), mais je ne vois toujours pas à quoi ça sert...

En partant de ton avant dernière expression, tu as $1=5-2\times (17-3\times 5)=5-2\times 17+6\times 5=7\times 5-2\times 17$... et c'est fini !

Aaah...Donc ça revenait bien à chercher des coefficients de Bézout pour $17u+5v=1$ ? Je vois pas trop le lien entre ça et n0, mais bon. ^^

Ah oui pardon, j'ai été un peu vite peut-être^^ Ensuite tu peux trouver ton cas particulier en remplaçant $u$ et $v$ dans l'expression de $n_0$