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Nombre de solution d'un équation.


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1 Nombre de solution d'un équation. le Mar 27 Oct - 14:31

Kaesin

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Salut Salut

J'ai une petite question, j'ai du mal à déterminer le nombre de solution d'une de mes équations.

Voilà l'équation :

(m-1)x²+1=0  m appartien au Réel

Et je dois determiner le nombre de solu, en distinguant plusieurs cas de "m".. Je vois pas trop comment faire.

Le seul truc que j'ai en tête c'est de me dire, vue que c'est un produit..
On peut dire que y'a une solution pour (m-1) et une pour x²+1, mais je sais pas trop je m'embrouille...

Merci de votre aide Smile

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Curry

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Salut,

Je suppose que c'est une équation à valeur dans $\mathbb{R}$.
Soit tu bourines et tu calcules le discriminant $\Delta$ et tu vois suivant le signe de ce dernier. Mais comme le $\Delta$ ne fonctionne QUE pour des polynômes de degré EXACTEMENT 2, tu dois avoir $m-1 \neq 0$. Il faut ensuite traiter le cas $m-1 = 0$ à part.


Soit tu changes un tout petit peu ton équation et ça te donne $$x^2 = - \frac{1}{m-1}$$
toujours sous la condition $m-1 \neq 0$, et sous cette forme tu dois t'en sortir. Et ne pas oublier de traiter le cas $m-1 = 0$.

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Kaesin

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J'ai du mal à cerné le fait de "Traiter les cas à part"

Qu'est ce qu'on entends par traiter ?

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Curry

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Par exemple pour la première méthode avec le discriminant : la méthode générale de calculer le discriminant d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ ne fonctionne que si $a \neq 0$. Dans ton cas tu peux donc chercher les racines du polynôme $(m-1)x^2 -1$ en utilisant le discriminant uniquement si $m-1 \neq 0$.
Maintenant pour $m-1 = 0$, tu ne peux pas utiliser le discriminant, tu dois voir "à la main" ce qu'il se passe dans ce cas, c'est à dire chercher autrement des solutions.

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Kaesin

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D'accord, je vois un peu.

Mais on me demande de distinguer plusieurs cas de "m" la on en à qu'un seul que m-1 different de 0 (Désolé j'ai du mal avec les formules Latex je met 50min pour écrire un message sinon Smile

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Tu vois bien deux cas sortir ici :
$m \neq 1$ : calcules le discriminant et tu sauras le nombre de solutions suivant le signe de $\Delta$
$m = 1$ : l'équation devient $(1-1)x^2 +1 = 0$ ....

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Kaesin

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Ah d'accord !

Oui en effet , comme ça c'est plus clair, j'essaye ça Razz

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Kaesin

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Je penses que je suis en train de m'embrouiller.

Pour le cas M=/=1 , on a un discriminant de 4m-4
Donc on a deux solution pour m>1 non ? Y'a un truc qui me bloque ici je ne sais pas comment expliqué...Enfin si c'est le m dans un resultat qui me bloque..

Et pour m=1 , donc si on prends (1-1)x²+1=0 Et bien ça me bloque aussi car .. 0*x²  0 , et a moins que j'ai réussi à démontrer que 1=0 mais je ne penses pas que ça soit ça Razz

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PouletAtomique

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m=1 est juste une valeur impossible , ça n'a pas de sens sinon

Après regarde le signe de m pour distinguer le nbr de solutions possibles

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Kaesin

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D'accord m=1 est une valeur impossible.

Mais pourquoi dire que m=1 pour l'équations ? On fait comment ? Sa changer l'ensemble de défition de m ?

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Curry

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Professeur de Mathématiques
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Le cas $m \neq 1$ :
$\Delta = -4(m-1)$. Trois cas se présentent
-> $\Delta > 0$ si et seulement si $m < 1$
-> $\Delta =0$ si et seulement si $m = 1$, ça n'arrive jamais puisqu'on est dans le cas $m \neq 1$
-> $\Delta < 0$ si et seulement si $m > 1$
Donc si $m<1$ on a deux solutions, si $m>1$ on n'a pas de solution, et si $m=1$ on ne sait pas.

Il faut donc étudier le cas $m=1$ plus en détail.
Pour $m=1$, on cherche un $x$ réel tel que $(1-1)x^2 +1 =0$, c'est à dire on cherche un $x$ réel tel que $0=1$, ce qui est impossible.

Ainsi on a deux racines si $m<1$ et aucune sinon.

Si tu ne comprends pas ce que je fais, arrête pour aujourd'hui, tu ne vois plus rien.

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Kaesin

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Non c'est bon j'ai réussi avant que tu me le mette j'étais en train d'écrire le message justement.

Oui je voyais juste un peu mal comment tu m'expliqué les deux cas, mais au final j'ai réussi, donc je te remerci Smile

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