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déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Dim 23 Sep - 9:34
Soit une matrice carrée d'ordre 4 à coefficients réels, $M = \begin{pmatrix}
0 &-2  & 4 &-2 \\
1 &1  &-2  &-1 \\
0 &0  &0  &0 \\
1 &-1  &2  &-3
\end{pmatrix}  $
1) a) calculer $M^{2}$ et $M^{3}$
b) Vvérifier que $M^{3} = -2M^2$ puis exprimer $M^{n}$ en fonction de n et $M^{2}$ , $\forall n \geq  2$ .
2) Calculer $e^M$ en fonction de $I_4$, $M$ et $M_2$.
3)déterminer le polynôme minimal et les valeurs propres de M

1) a) On trouve , $M^2 = \begin{pmatrix}
-4 &0  & 0 &8 \\
0 &0  &0  &0 \\
0 &0  &0  &0 \\
-4 &0  &0  &8
\end{pmatrix} ,\qquad

M^3 = \begin{pmatrix}
8 &0  & 0 &-16 \\
0 &0  &0  &0 \\
0 &0  &0  &0 \\
8 &0  &0  &-16
\end{pmatrix}  $
b) Pas de problème  et $M^n = 2^{n-2}M^2$

2) Pour l'instant je bloque au niveau de la question 2). Je ne vois pas comment calculer $e^M$ mais je sais que $e^M = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}M^n $  ce qui me gène ici c'est l'exponentielle et aussi le fait que somme est jusqu'a + l'infini
SVP quelqu'un peut m'aider ?
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Dim 23 Sep - 16:51
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Bonjour, as-tu remarqué que tu pouvais utiliser l'expression de $M^n$ de la question précédente ? (d'ailleurs il y a une erreur dans ta réponse)
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Dim 23 Sep - 17:11
oui je me suis servi de  $M^3 = -2M^2$  pour en déduire que  la réponse j'avais oublié le signe négatif , $M^n = (-1)^{n} \times 2^{n-2} \times M^2$ , c'est corrigé l'erreur ? en cherchant un peu plus
$e^M = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}M^n $
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 9:20
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Salut,
En effet $exp(M) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} M^n$. Maintenant tu peux remplacer la valeur de $M^n$ par ce que tu as trouvé à la question précédente.
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 9:35
okay j'obtiens $e^M = I + M + M^2 \times -\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$ et $e^M = I + M -\frac{1}{4} M^2(e^2-3)$. Mais est ce que je peux me servir de ce résultat pour résoudre la question 3?
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 14:22
Ok pour exponentielle c'est bon. A priori non ça ne te sert pas pour calculer le polynôme minimal, pour ça il faut utiliser $M^3=-2M^2$.
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 16:07
mais comment utiliez $M^3 = -2M^2$ pour trouver le polynôme caractéristique ? ça fait des heures que je recherche un moyen simple sans échelonner la matrice 4x4...
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 17:04
Réputation du message : 100% (1 vote)
Tu as $M^3+2M^2=0$ donc le polynôme minimal de $M$ divise $X^3+2X^2$. Il n'y a pas beaucoup de choix ...
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Re: déterminer l'exponentielle d'une matrice 4x4

le Lun 24 Sep - 17:23
merci beaucoup
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