Polynôme minimal..

Bonjour,
Je suis en L2 en Maths appliqués, je sais trouver un polynôme caractéristique, s'il est scindé, le diagonaliser au mieux ou le trigonaliser sous forme de blocs de Jordan.

Mais sauf que dans mes exercices, on me demande toujours de trouver le polynôme minimal à la fin de ma trigonalisation.
Mais je voudrai savoir comment puis-je le trouver, on va dire que dans le spectre de la matrice A carrée de dimension 6x6 comporte 3 valeur propres qui sont 1 , ordre de multiplicité 1, 2 ordre de multiplicité 2 et 3 ordre de multiplicité 3.
Donc le polynôme caractéristique peut s'écrire comme chi[sub]f[/sub](X)=(X-1)(X-2)[sup]2[/sup](X-3)[sup]3[/sup]

Je n'ai pas d'exemple précis pour l'instant, mais je veux juste la méthode en fait, qui marche pour tout.

Merci.

Salut AquaS et bienvenue
En fait, tu sais que le polynôme minimal divise ton polynôme caractéristique, n'est-ce pas ?

Merci
Oui, je le sais, et qu'il est non nul, unitaire et de degré minimal tel que µ_A(A) = 0 (selon la définition de mon cours, déjà je comprends pas pourquoi il peut être non nul et nul ??).

Attention, dans ta définition il est bien non-nul ! Quand tu écris

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mu_{A}(A)=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mu_{A}(A)=0" title="\mu_{A}(A)=0" /></a>

tu dis juste qu'il s'annule en A, mais pas qu'il est nul !

Ah d'accord, c'est plus clair
Mais donc, pour le trouver, comment faut - il procéder ?
Je sais calculer des espaces propres de chaque valeur propre si ça peut aider..
Mais en général, dans les annales (sans corrigé bien sûr) , ils demandent toujours le polynôme minimal à la fin, après la question de la diagonalisation / trigonalisation.

En fait ton cours te dit que si ton polynôme caractéristique est

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\chi_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\alpha_1}(X-\lambda_2)^{\alpha_2}...(X-\lambda_n)^{\alpha_n}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\chi_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\alpha_1}(X-\lambda_2)^{\alpha_2}...(X-\lambda_n)^{\alpha_n}" title="\chi_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\alpha_1}(X-\lambda_2)^{\alpha_2}...(X-\lambda_n)^{\alpha_n}" /></a>

alors ton polynôme minimal s'écrit

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\mu_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\beta_1}(X-\lambda_2)^{\beta_2}...(X-\lambda_n)^{\beta_n}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mu_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\beta_1}(X-\lambda_2)^{\beta_2}...(X-\lambda_n)^{\beta_n}" title="\mu_{A}(X)=(X-\lambda_1)^{\beta_1}(X-\lambda_2)^{\beta_2}...(X-\lambda_n)^{\beta_n}" /></a>

où pour tout i = 1,...,n on a

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=1\leq&space;\beta_i\leq&space;\alpha_i" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?1\leq&space;\beta_i\leq&space;\alpha_i" title="1\leq \beta_i\leq \alpha_i" /></a> !

Donc, quand tu as calculé ton polynôme caractéristiques, il ne te reste plus qu'à regarder toutes les possibilités (tu choisis dans l'ordre ceux de degré minimal et tu regardes s'ils s'annulent ).

Merci, c'est plus clair dans ma tête, à l'excepté d'une chose, pourquoi le prof demande le polynôme minimal à la fin de l'exercice, après une trigonalisation ou diagonalisation ?
Je croyais qu'il y avait un rapport.

En tout cas, merci.
J'ai une autre question sur les séries entière mais je vais poster un autre topic.