Questions de Calcul Différentiel diverses

Hey !

Cette année, le Calcul Différentielle est MA bête noire, notamment à cause de l'incompétence de celui qui me sert d'enseignant pour cette matière ... (et j'insiste LOURDEMENT sur ce point; pédagogiquement parlant, cette personne est vraiment horrible) (pour donner un exemple qui m'exaspère, il identifie un produit cartésien à une somme directe, ce qui est selon moi une véritable hérésie, et peu importe la justification qu'on donnera).

Enfin bref, voici les questions qui me turlupinent un peu. Tout d'abord, j'ai pas pu me mettre à jour sur certains exercices, que je n'ai pas pleinement réussit à faire. Voici les exercices où je bloque:

1°) Voici un exercice qui est dans mon cahier de TD:

Soit V espace vectoriel qui se décompose en V = V1 (+) V2 (somme directe).
Montrer que cette somme directe est topologique si et seulement si V1 et V2 sont fermés dans V et que les projections naturelles sur V sont continues.

J'ai déjà réussi à faire le sens direct. Pour le sens réciproque, je rencontre quelques problèmes ... Le but est de montrer que la norme || sur V est équivalente à la norme max(||1 ; ||2) où ||1 et ||2 sont des normes choisies pour V1 et V2. Et j'avoue ne pas du tout savoir comment faire. Je croyais avoir une inégalité triviale, à savoir || =< 2max(||1 ; ||2), car j'avais en tête que ||1 et ||2 étaient des restrictions de ||. Mais il me semble que ce n'est nullement pas obligatoire ... Du coup, je n'ai ni cette inégalité, ni l'autre, et je ne vois pas comment faire.

2°) Ensuite, voici un exercice que ... je ne comprends pas. Quand je vous parle de l'incompétence de mon prof, c'est ça; gros manque de rigueur, notations très floues ... Bref, je vous recopie EXACTEMENT l'exercice comme suit:

Dans les notations du cours, montrer que si V' est somme directe topologie de V'1 et V'2, alors la norme N_i induite par N sur L(V,V'i) (ensemble des applications linéaires continues de V dans V'i) est égale à la norme naturelle N_lip de L(V,V'i) et l'espace L(V,V') est somme directe topologique des sous espaces L(V,V'1) et L(V,V'2).

On a noté, pour tout f application linéaire continue N_lip(f) la plus grande constante de Lipschitz (le sup en fait).
Ensuite, pour "prendre les notations du cours", la norme N est mentionnée NUL PART. Les espaces V et V' sont des espaces vectoriels munis des normes || et ||', dans les notations du cours. Donc je me suis dis que son N là, c'était la norme opérateur sur L(V,V'), sauf que non, car peu après il note N_lip (donc intuitivement, il différencie N et N_lip ...). En vu de la notation N_i, on peut croire que N_i, c'est la norme sur V_i et N, bon ben on va dire que c'est la norme sur V' même si c'est pas du tout comme dans le cours. Donc N_i c'est la restriction de N, OK. Par contre, N_i induite par N sur L(V,V'_i) ? ça veut dire quoi ce machin, sérieux ?...
Bref, c'est pas que j'arrive pas à faire l'exercice. C'est qu'il est tellement rédigé avec le cul que je comprends rien de ce qu'on me demande. Donc beeeen ... merci d'avance pour votre aide.

3°) Enfin, j'aimerais essayer de mieux me familiariser avec les différentielles d'ordre supérieures (car bien sûr, on a pas fait d'exemple en cours). En particulier, admettons que j'ai la fonction f(x,y) = x^3 + y^3 - 3x²y². Je sais calculer la différentielle de cette fonction, en faisant la somme des dérivées partielles auquel j'ai multiplié par h1 et h2 (si je note le h comme (h1 ; h2)). Mais la différentielle seconde, je fais comment ?... Car en théorie, c'est un peu plus complexe, puisque la différentielle seconde est la différentielle de la différentielle, donc d'une application ...

Merci d'avance pour votre aide !