DM SPE maths

On considère la suite (un), défini pour tout entier naturel n par un= (4^(2n+1)+1)/ 5.

1) Calculer les quatre premiers termes.

2) Démontrer que un+1= 16un -3 pour tout entier naturel n.

3) Démontrer que pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.

4) Dans cette question, on cherche à démontrer plusieurs propriétés des termes de cette suite, on utilisera pour cela le résultat de la deuxième question.
A) Montrer que, pour tout entier naturel n, le PGCD (un,un+1) est égal à 1 ou 3.

B) Montrer que un+1 est congru à un [3].

C) Montrer que, pour tout entier naturel n, un n'est pas divisible par 3.

D) Démontrer alors que pour tout entier naturel n, un et un+1 sont premiers entre eux.

Bonjour Yyinnn et bienvenue,
Peux-tu nous dire où tu es coincé plus exactement afin que l'on puisse te guider ?

Bonjour, je suis bloqué à la question 2.

As-tu essayé en remplaçant n par n+1 dans l'expression de l'énoncé ?
Sinon, il faut essayer par récurrence.

Ah donc c'est (4^(2(n+1)+1)+1)/5?

Oui, pour montrer que $u_{n+1}=16u_{n}-3$, je te conseille de "calculer" séparément $u_{n+1}$ et $16u_{n}-3$ et d'arriver à la même expression.

D'accord merci. Je vais essayer et quand j'aurais fini je vous direz.

Parfait, n'hésite pas à tester des pistes et à nous dire où tu bloques !

Je crois que j'ai réussi pour calculer un+1

Un+1=(4^(2(n+1)+1)+1)/5
=(4^(2n+3)+1)/5
=(4^(2n+3)+16-15)/5
=16(4^(2n+1)+1)-15/3
=16un-3

Oui c'est très bien comme ça !

Mais je ne suis pas obliger de calculer le 16un-3?

Non, rédigé comme ça c'est tout bon pour cette question.

D'accord merci beaucoup. Pour la question 3 c'est bien comme ça qu'on doit demontrer?
u0= (4^(2*0+1)+1)/5
=1 donc c'est bien un entier naturel.

Non, il faut démontrer que c'est vrai pour n'importe quel entier $n$ !

C'est avec récurrence aussi?

Dans cette question, je te conseille de regarder le numérateur $4^{2n+1}+1$ et de montrer qu'il est divisible par $5$ (s'il est divisible par $5$ alors le quotient sera un nombre entier).
Pour le démontrer, utilise les congruences...

D'accord je vais essayer de le faire.

(4^(2n+1)+1) /5 = 5k
(4^(2(n+1))+1)+1)/5 =5k*(4^(2(n+1))+1)+1)/5

Je suis bloquer apres.

Non, ce n'est pas ce que je te proposais de faire. Tu as écrit toute l'écriture fractionnaire.
En fait, tu peux écrire :
$4^2 \equiv 16 \pmod 5$
donc $4^2 \equiv 1 \pmod 5$
Es-tu d'accord jusque là ?

Le but étant d'arriver à :
$4^{2n+1}+1 \equiv 0 \pmod 5$
Ce qui voudra dire que $4^{2n+1}+1$ est divisible par $5$ et donc que $\frac{4^{2n+1}+1}{5}$ est un nombre entier.

Ah d'accord. Donc c'est 4^2 congru 1 ( mod 5)
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5)

[quote:cd23="Yyinnn"]Ah d'accord. Donc c'est 4^2 congru 1 ( mod 5)
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5) [/quote]

Non, attention !

$4^2 \equiv 1\pmod 5$ donc
$(4^2)^n \equiv 1^n\equiv 1\pmod 5$ soit
$4^{2n}\equiv 1\pmod5$ donc
$4^{2n+1}\equiv 1\times 4\pmod 5$ soit
$4^{2n+1}\equiv 4\pmod 5$ puis
$4^{2n+1}+1\equiv 4+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5$

Aaah d'accord il faut aller étape par étape merci. J'ai compris comment le faire maintenant.

Oui, il vaut mieux prendre davantage d'étapes et ne pas se tromper...

Oui c'est vrai, je ferais attention la prochaine fois.
J'avais commencer un peu la question 4. Et pour le a) j'ai répondu: si d est le PGCD ( un , un+1 ) alors d divise 16un-un+1.
Et 16un-un+1= 3 ; donc d divise 3.
Or 3 n'est divisible que par 1 et par lui même ; donc le PGCD ( un , un+1 ) est égal à 1 ou 3.