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- YyinnnPosteur Motivé
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DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:44
On considère la suite (un), défini pour tout entier naturel n par un= (4^(2n+1)+1)/ 5.
1) Calculer les quatre premiers termes.
2) Démontrer que un+1= 16un -3 pour tout entier naturel n.
3) Démontrer que pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.
4) Dans cette question, on cherche à démontrer plusieurs propriétés des termes de cette suite, on utilisera pour cela le résultat de la deuxième question.
A) Montrer que, pour tout entier naturel n, le PGCD (un,un+1) est égal à 1 ou 3.
B) Montrer que un+1 est congru à un [3].
C) Montrer que, pour tout entier naturel n, un n'est pas divisible par 3.
D) Démontrer alors que pour tout entier naturel n, un et un+1 sont premiers entre eux.
1) Calculer les quatre premiers termes.
2) Démontrer que un+1= 16un -3 pour tout entier naturel n.
3) Démontrer que pour tout entier naturel n, un est un entier naturel.
4) Dans cette question, on cherche à démontrer plusieurs propriétés des termes de cette suite, on utilisera pour cela le résultat de la deuxième question.
A) Montrer que, pour tout entier naturel n, le PGCD (un,un+1) est égal à 1 ou 3.
B) Montrer que un+1 est congru à un [3].
C) Montrer que, pour tout entier naturel n, un n'est pas divisible par 3.
D) Démontrer alors que pour tout entier naturel n, un et un+1 sont premiers entre eux.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:45
Bonjour Yyinnn et bienvenue,
Peux-tu nous dire où tu es coincé plus exactement afin que l'on puisse te guider ?
Peux-tu nous dire où tu es coincé plus exactement afin que l'on puisse te guider ?
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:46
Bonjour, je suis bloqué à la question 2.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:49
As-tu essayé en remplaçant n par n+1 dans l'expression de l'énoncé ?
Sinon, il faut essayer par récurrence.
Sinon, il faut essayer par récurrence.
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:52
Ah donc c'est (4^(2(n+1)+1)+1)/5?
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 18:59
Oui, pour montrer que $u_{n+1}=16u_{n}-3$, je te conseille de "calculer" séparément $u_{n+1}$ et $16u_{n}-3$ et d'arriver à la même expression.
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:03
D'accord merci. Je vais essayer et quand j'aurais fini je vous direz.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:04
Parfait, n'hésite pas à tester des pistes et à nous dire où tu bloques !
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:13
Je crois que j'ai réussi pour calculer un+1
Un+1=(4^(2(n+1)+1)+1)/5
=(4^(2n+3)+1)/5
=(4^(2n+3)+16-15)/5
=16(4^(2n+1)+1)-15/3
=16un-3
Un+1=(4^(2(n+1)+1)+1)/5
=(4^(2n+3)+1)/5
=(4^(2n+3)+16-15)/5
=16(4^(2n+1)+1)-15/3
=16un-3
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:15
Oui c'est très bien comme ça !
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:16
Mais je ne suis pas obliger de calculer le 16un-3?
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:18
Non, rédigé comme ça c'est tout bon pour cette question.
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:21
D'accord merci beaucoup. Pour la question 3 c'est bien comme ça qu'on doit demontrer?
u0= (4^(2*0+1)+1)/5
=1 donc c'est bien un entier naturel.
u0= (4^(2*0+1)+1)/5
=1 donc c'est bien un entier naturel.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:23
Non, il faut démontrer que c'est vrai pour n'importe quel entier $n$ !
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:27
Dans cette question, je te conseille de regarder le numérateur $4^{2n+1}+1$ et de montrer qu'il est divisible par $5$ (s'il est divisible par $5$ alors le quotient sera un nombre entier).
Pour le démontrer, utilise les congruences...
Pour le démontrer, utilise les congruences...
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:29
D'accord je vais essayer de le faire.
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 19:42
(4^(2n+1)+1) /5 = 5k
(4^(2(n+1))+1)+1)/5 =5k*(4^(2(n+1))+1)+1)/5
Je suis bloquer apres.
(4^(2(n+1))+1)+1)/5 =5k*(4^(2(n+1))+1)+1)/5
Je suis bloquer apres.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:00
Non, ce n'est pas ce que je te proposais de faire. Tu as écrit toute l'écriture fractionnaire.
En fait, tu peux écrire :
$4^2 \equiv 16 \pmod 5$
donc $4^2 \equiv 1 \pmod 5$
Es-tu d'accord jusque là ?
En fait, tu peux écrire :
$4^2 \equiv 16 \pmod 5$
donc $4^2 \equiv 1 \pmod 5$
Es-tu d'accord jusque là ?
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:03
Le but étant d'arriver à :
$4^{2n+1}+1 \equiv 0 \pmod 5$
Ce qui voudra dire que $4^{2n+1}+1$ est divisible par $5$ et donc que $\frac{4^{2n+1}+1}{5}$ est un nombre entier.
$4^{2n+1}+1 \equiv 0 \pmod 5$
Ce qui voudra dire que $4^{2n+1}+1$ est divisible par $5$ et donc que $\frac{4^{2n+1}+1}{5}$ est un nombre entier.
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:07
Ah d'accord. Donc c'est 4^2 congru 1 ( mod 5)
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5)
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5)
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:15
[quote:cd23="Yyinnn"]Ah d'accord. Donc c'est 4^2 congru 1 ( mod 5)
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5) [/quote]
Non, attention !
$4^2 \equiv 1\pmod 5$ donc
$(4^2)^n \equiv 1^n\equiv 1\pmod 5$ soit
$4^{2n}\equiv 1\pmod5$ donc
$4^{2n+1}\equiv 1\times 4\pmod 5$ soit
$4^{2n+1}\equiv 4\pmod 5$ puis
$4^{2n+1}+1\equiv 4+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5$
4^2n+1 congru 1 (mod 5)
4^(2n+1)+1 congru 0 (mod 5) [/quote]
Non, attention !
$4^2 \equiv 1\pmod 5$ donc
$(4^2)^n \equiv 1^n\equiv 1\pmod 5$ soit
$4^{2n}\equiv 1\pmod5$ donc
$4^{2n+1}\equiv 1\times 4\pmod 5$ soit
$4^{2n+1}\equiv 4\pmod 5$ puis
$4^{2n+1}+1\equiv 4+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5$
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:18
Aaah d'accord il faut aller étape par étape merci. J'ai compris comment le faire maintenant.
Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:20
Oui, il vaut mieux prendre davantage d'étapes et ne pas se tromper...
- YyinnnPosteur Motivé
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Re: DM SPE maths
Lun 6 Jan - 20:22
Oui c'est vrai, je ferais attention la prochaine fois.
J'avais commencer un peu la question 4. Et pour le a) j'ai répondu: si d est le PGCD ( un , un+1 ) alors d divise 16un-un+1.
Et 16un-un+1= 3 ; donc d divise 3.
Or 3 n'est divisible que par 1 et par lui même ; donc le PGCD ( un , un+1 ) est égal à 1 ou 3.
J'avais commencer un peu la question 4. Et pour le a) j'ai répondu: si d est le PGCD ( un , un+1 ) alors d divise 16un-un+1.
Et 16un-un+1= 3 ; donc d divise 3.
Or 3 n'est divisible que par 1 et par lui même ; donc le PGCD ( un , un+1 ) est égal à 1 ou 3.
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