Somme directe

Hello

Voilà j'ai un petit soucis au niveau de la compréhension, je n'arrives pas trop à comprendre comment prouver que deux sous espaces vectoriels sont en somme directe.

Merci d'avance pour vos réponses

Hello,
Tu as un exo sur lequel tu es bloqué par exemple ?
Le plus simple sera souvent de montrer que leur intersection est zéro

Yes

je sais qu'il faut deux conditions pour prouver que deux sous espaces sont en sommes direct

leur intersection est 0

et la somme des deux sous espaces = à l'ensemble tout entier

Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E vérifiant f
3 = Id.
Montrer
ker(f − Id) ⊕ Im(f − Id) = E

Salut S4ph1r,
Pour l'intersection réduite à zéro je te fais confiance tu as l'air de savoir faire.
Pour la somme, il y a en gros deux possibilités :
- soit à la main : tu prends un élément de E et tu essaies de l'écrire comme somme de deux vecteurs u1 et u2, l'un dans ker(f-id) et l'autre dans Im(f-id)
- soit grâce à un théorème de ton cours qui décompose pour toi l'espace en somme directe de sous-espaces, sous certaines conditions.

Bonjour

C'était pour savoir si pour démontrer que l'intersection entre ker f et Im f était réduit à 0,
je pouvais prendre un élément de Im f et montrer qu'il n'est pas dans ker f ou inversement.

Est que cela est suffisant pour démonter l'intersection.

Je précise que f est un endomorphisme.

Merci

Bonjour,

Tu dois bien entendu préciser que l'élément que tu prends est non nul.
Si tu fais ce que tu as dit, tu vas conclure que "Ker(f) n'est pas inclus dans Im(f) et que Im(f) n'est pas inclus dans Ker(f)".
Tu conçois que ce n'est pas la même chose que "l'intersection est l'élément nul".
Je te conseille de supposer qu'un élément est dans l'intersection, et d'arriver à conclure qu'il est forcément nul.

Dans la correction d'un exercice, il montre qu'un élément de l'image n'appartient pas au noyau.

De plus ils disent que im f est de dimension 1 et ker f est un hyperplan de R3 donc kerf est de dimension 2.

Avec ces deux affirmations ils en concluent que l'intersection de ker f et imf était réduit à 0.

Ce n'est pas ce que tu m'as dit au départ ^^
Tu as rajouté la notion de dimension qui est importante ici.
Imagine donc la nature géométrique de Im(f) et de Ker(f).

Im f est une droite alors que ker f est un plan

Donc dans ce cas là si un élément non nul de Im(f) n'est pas dans Ker(f), alors la droite n'est pas incluse dans le plan. Donc c'est bon tu as montré que l'intersection est nulle.

C'est cela que j'ai pas compris

Là nous avons prouvé qu'un et je précise un seul élément n'est pas dans ker f
Mais il pourrait y avoir d'autre élément de im f qui soit aussi dans ker f

Im(f) est une droite. Donc cet espace est engendré par un vecteur v. C'est à dire que si un élément appartient à Im(f), alors il s'écrit de la forme k*v où k est un réel. Tu comprends bien que si v n'appartient pas à Ker(f), k*v n'appartient pas à Ker(f). Je te rappelle que Ker(f) est un sous-espace vectoriel.