Prouver qu'une suite converge

Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice autour de la suite suivante :

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :
- $a_1\geq 0$
- $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$ $(*)$

Une partie de l'exercice me demande de montrer que cette suite converge. J'ai compris qu'il fallait montrer que l'écart entre $a_n$ et $a_{n+1}$ devenait de plus en plus petit.

On a également droit à deux indices :

1. Prouver que $|a_{n+1}-a_n|\leq\frac{1}{2}|a_n-a_{n-1}|$
2. $a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}$ $(**)$

Pour commencer, j'avais développé $|a_{n+2}-a_{n+1}|$ et $|a_{n+1}-a_n|$ selon ce que l'on sait de $(*)$, et donc j'avais écrit les deux expressions en fonction de $a_n$. Ensuite, j'avais utilisé $(**)$, mais je n'arrive toujours pas à voir le lien entre les deux qui me permettrait de dire que l'un est plus grand que l'autre.

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? Je galère depuis 1h30 sur ce problème, et j'ai l'impression de n'avoir pas du tout avancé...

Pitié essayes de ré écrire en LATEX

Ouais, je vais déjà modifier ton message pour que ça soit lisible... Derien

Edit : voilà, dis moi si c'est ok.

Oui c'est bien ça, merci. (Désolé, je n'utilise pas Latex).

Salut,
L'exercice est résolu non ? Si tu as montré que $|a_{n+1} - a_n| \leq \frac12 |a_n - a_{n-1}|$ alors tu as $$ |a_{n+1} - a_n| \leq \frac{1}{2^n} |a_1 - a_0|$$

Et donc la suite converge.

Non justement, ça c'est ce que je dois prouver; mais je ne vois pas comment y parvenir.

Quelle définition as tu de suite convergente ?

Une suite (a_n) converge vers a si pour tout epsilon >0, il existe un N naturel tel que la valeur absolue de a_n - a < epsilon pour tout n > N.

N'as tu pas vu les suites de Cauchy ? Cette suite converge vers $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Pour montrer que ça converge vers $\varphi$, on le fait en deux étapes :
1. On montre que si la suite converge, alors c'est forcément vers $\varphi$
2. On montre que la suite converge (ici on montre qu'elle est de Cauchy).
Je ne vois pas comment montrer ça autrement.