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Equation du troisième degré

le Ven 15 Mai - 20:08
Plop ! Alors voilà j'essaye de résoudre une équation assez spéciale depuis ce matin, j'ai trouvé plusieurs "méthodes" sur internet mais elles marchaient pas (elles consistaient dans la plupart des cas à factoriser l'expression).

Voici l'équation : 2x^3+4x^2-2x-1=0

J'ai beaucoup cherché sur internet mais j'ai rien trouvé de concluant et ça commence à me frustrer xD, je sais qu'il y a 3 solutions réelles (j'ai les résultats mais je veux trouver tout seul)

Si vous pourriez m'éclairer !
Merci !

PS : Je précise qu'on ne fait pas ça en cours, c'est pas du tout un devoir, c'est juste pour moi en fait
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Re: Equation du troisième degré

le Lun 18 Mai - 20:00
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut,

En général, pour les polynômes de degré 3, on cherche une racine évidente (0,1,2,-1,-2, éventuellement 3) et on factorise alors par (X- racine), et il reste donc un polynôme du second degré. On doit alors trouver les coefficients de ce polynôme du 2e degré, par identification (tu redéveloppes et tu reconnais les coefficients du début).

En tout cas, dans ton exemple tu as dû faire une erreur de frappe, celui-ci n'est absolument pas simple à factoriser (à moins que Mapple ne se trompe, la racine évidente est :
-(1/6)*(190+6*sqrt(393))^(1/3)-14/(3*(190+6*sqrt(393))^(1/3))-2/3 Razz)
Essaie avec : x^3 - 2x^2 - 5x + 6 ça sera déjà plus faisable.
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Re: Equation du troisième degré

le Mer 20 Mai - 0:45
Salut,

Si tu veux vraiment résoudre cette équation proprement, va falloir passer par la méthode de Cardan, et en plus les résultats à la fin sont moches et pas super intéressants au premier coup d'oeil.

Donc bon dans les grandes lignes.
Tu poses x = z - 2/3
Normalement tu devrais alors aboutir à une équation du genre z^3 + pz + q = 0 avec p et q à déterminer.

Une fois ici tu dois poser z = u + v avec u et v des complexes.
De plus on suppose 3uv + p = 0

Après quelques calculs on obtient que u^3 et v^3 sont les solutions complexes conjuguées de l'équation de degré 2 : X² + qX - p^3/27

On trouve alors u^3 et v^3, donc u et v, donc z, donc les x initiaux cherchés.

C'est long et fastidieux, c'est pour ça qu'on bosse souvent dans des cas où les racines sont évidentes.... Bon si tu veux plus d'info sur la méthode de Cardan y a Wiki ou tu peux tenter mon site où je montre précisément comment ça marche, mais je te préviens j'écris mal et mon site est noir : http://noproblemjustsolution.jimdo.com/parlons-maths/%C3%A9quations/polynomiales/

Voilà.
Donc cantonne toi aux équations de degré 2 et équations bicarrées, le reste c'est pas beau si on sort des cadres sympas.
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