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Limites de fonctions


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1 Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 21:47

PaulineTS33


Posteur Motivé
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Bonjour j'ai un exercice à faire et j'ai du mal...

Soit f la fonction définie sur [2;+infini[ par f(x) = (4x²-4x)/(2x-1)²

a) Déterminer deux réels a et b tels que : f(x) = a+(b/(2x-1)²)

Et voila je bloque déjà sur cette première question !
Donc j'ai commencé à réfléchir, mais à part que 4x²-4x+1=(2x-1)²
                                                                  ssi   4x²-4x=(2x-1)²-1

Je vois bien qu'il y a quelque chose à faire qui commencerait par
(4x²-4x)/(2x-1)²=a+(b/(2x-1)²)

Je ne sais pas comment faire à partir de là, merci d'avance de votre aide

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2 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 21:51

Professeur J

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Salut Pauline, il s'agit d'une question très classique, qui tombe très souvent (tu verras...). Pour la résoudre, tu pars de l'expression avec le $a$ et le $b$, puis tu mets le tout sur le même dénominateur (celui de $f(x)$ d'ailleurs Wink). Fais déjà ça, après il faut faire ce qu'on appelle une identification.

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3 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 21:57

PaulineTS33


Posteur Motivé
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D'accord, merci ! Donc je fais
a+(b/(2x-1)²)=(((2x-1)²*a)+b)/(2x-1)² ?

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4 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:01

Professeur J

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Exactement ! Smile Maintenant tu peux développer et réduire le dénominateur...

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5 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:11

PaulineTS33


Posteur Motivé
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Euhh en fait là je vois pas trop... Désolée..!

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6 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:11

Professeur J

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Je voulais dire le numérateur, pardon !

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7 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:16

PaulineTS33


Posteur Motivé
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Pas de soucis j'avais compris ! Mais je vois pas, je dois développer l'identité remarquable ? Et je vois pas où ça me mène...

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8 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:17

Professeur J

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Je veux que tu fasses ça sans erreur, après tu verras pourquoi on le fait (ça sera tout le temps comme ça Smile). Oui tu dois développer l'identité remarquable, etc.

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9 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:20

PaulineTS33


Posteur Motivé
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D'accord ! Beh du coup au numérateur j'ai : ((4x²-4x+1)*a)+b
Je dois développer plus ?

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10 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:22

Professeur J

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Oui, il faut aller jusqu'au bout...

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11 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:24

PaulineTS33


Posteur Motivé
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D'accord, désolée ! Du coup ça fait : 4x²*a-4x*a+a+b ?

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12 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:28

Professeur J

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Professeur de Mathématiques
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Yep, maintenant il faut faire ce que j'appelais tout à l'heure identification. Dans la formule que tu as trouvé, tu vois que ça "ressemble" à l'expression de $f(x)$ de l'énoncé ? Tu dois regarder pour quelles valeurs de $a$ et $b$, l'expression que tu as trouvée est égale à $f(x)$.

Pour t'aider, quand tu regardes ce qu'il y a devant les $x^2$ on a $4a$ (dans ce que tu viens de faire). Et dans $f(x)$, devant les $x^2$, il y a $4$, donc tu dois avoir $4a=4$ d'où $a=1$. Tu dois continuer pour trouver $b$.

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13 Re: Limites de fonctions le Mar 6 Oct - 22:35

PaulineTS33


Posteur Motivé
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D'accord merci ! Donc b vaut -1? Ah d'accord j'ai pas besoin de trouver tous les réels a et b possibles ? Ce couple me suffit ? Merci beaucoup !

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