- scredghostPosteur Débutant
- Messages : 2
fonction injective, surjective, arithmétique
Mer 30 Déc - 22:00
Bonsoir
Je suis en train de bloquer sur 1 question d'un exo, dont l'énoncé est le suivant :
Soient k et l deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Soit f un fonction qui à tout couple d'entier (a,b) € [0,k-1] * [0,l-1] associe le reste de la division euclidienne de al+bk par kl.
J'aurais besoin d'aide pour montrer que f est surjective, car je ne sais pas comment m'y prendre
Je suis en train de bloquer sur 1 question d'un exo, dont l'énoncé est le suivant :
Soient k et l deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Soit f un fonction qui à tout couple d'entier (a,b) € [0,k-1] * [0,l-1] associe le reste de la division euclidienne de al+bk par kl.
J'aurais besoin d'aide pour montrer que f est surjective, car je ne sais pas comment m'y prendre
Re: fonction injective, surjective, arithmétique
Jeu 31 Déc - 2:05
Salut, tu as essayé certaines choses (ce que tu fais habituellement pour montrer qu'une application est surjective), ou tu n'as vraiment pas d'idées pour commencer ?
- scredghostPosteur Débutant
- Messages : 2
Re: fonction injective, surjective, arithmétique
Jeu 31 Déc - 12:46
j'ai fais quelque chose ce matin avec un ami, mais je ne sais pas si c'est bon.
On pose r € [0,mn-1].
Comme m et n sont premiers entre eux, avec Bézout on a un+vm =1 avec u,v 2 entiers.
Donc on a urn+vrm=r.
Après on pose a le reste de la division euclidienne de ur par m, b celui de vr par n, donc a est dans [0,m-1] et b dans [0,n-1].
Donc on a ur=xm+a et vr=yn+b, avec x et y 2 entiers.
Donc an+bm = (ur-xm)n + (vr -yn)m = urn - xmn + vrm -ymn
En factorisant et avec Bézout, on a : an+bm = mn(-x-y) + r (1), donc r est le reste de la division euclidienne de an+bm par mn.
Donc il existe (a,b) € [0,m-1]*[0,n-1] tel que f(a,b) =r
Donc f est surjective.
Ce qui me gêne c'est que dans l'égalité (1), j'ai comme quotient -x-y, et comme an+bm >0, si -x-y<0, on risque d'avoir an+bm<0 ce qui est impossible
On pose r € [0,mn-1].
Comme m et n sont premiers entre eux, avec Bézout on a un+vm =1 avec u,v 2 entiers.
Donc on a urn+vrm=r.
Après on pose a le reste de la division euclidienne de ur par m, b celui de vr par n, donc a est dans [0,m-1] et b dans [0,n-1].
Donc on a ur=xm+a et vr=yn+b, avec x et y 2 entiers.
Donc an+bm = (ur-xm)n + (vr -yn)m = urn - xmn + vrm -ymn
En factorisant et avec Bézout, on a : an+bm = mn(-x-y) + r (1), donc r est le reste de la division euclidienne de an+bm par mn.
Donc il existe (a,b) € [0,m-1]*[0,n-1] tel que f(a,b) =r
Donc f est surjective.
Ce qui me gêne c'est que dans l'égalité (1), j'ai comme quotient -x-y, et comme an+bm >0, si -x-y<0, on risque d'avoir an+bm<0 ce qui est impossible
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
|
|