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fonction injective, surjective, arithmétique


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scredghost


Posteur Débutant
Posteur Débutant
Bonsoir Smile

Je suis en train de bloquer sur 1 question d'un exo, dont l'énoncé est le suivant :

Soient k et l deux entiers supérieurs à 2 et premiers entre eux.
Soit f un fonction qui à tout couple d'entier (a,b) € [0,k-1] * [0,l-1] associe le reste de la division euclidienne de al+bk par kl.

J'aurais besoin d'aide pour montrer que f est surjective, car je ne sais pas comment m'y prendre Sad

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Professeur J

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Professeur de Mathématiques
Professeur de Mathématiques
Salut, tu as essayé certaines choses (ce que tu fais habituellement pour montrer qu'une application est surjective), ou tu n'as vraiment pas d'idées pour commencer ?

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scredghost


Posteur Débutant
Posteur Débutant
j'ai fais quelque chose ce matin avec un ami, mais je ne sais pas si c'est bon.

On pose r € [0,mn-1].
Comme m et n sont premiers entre eux, avec Bézout on a un+vm =1 avec u,v 2 entiers.
Donc on a urn+vrm=r.
Après on pose a le reste de la division euclidienne de ur par m, b celui de vr par n, donc a est dans [0,m-1] et b dans [0,n-1].

Donc on a ur=xm+a et vr=yn+b, avec x et y 2 entiers.
Donc an+bm = (ur-xm)n + (vr -yn)m = urn - xmn + vrm -ymn

En factorisant et avec Bézout, on a : an+bm = mn(-x-y) + r (1), donc r est le reste de la division euclidienne de an+bm par mn.
Donc il existe (a,b) € [0,m-1]*[0,n-1] tel que f(a,b) =r

Donc f est surjective.

Ce qui me gêne c'est que dans l'égalité (1), j'ai comme quotient -x-y, et comme an+bm >0, si -x-y<0, on risque d'avoir an+bm<0 ce qui est impossible

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