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Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 8:32
Bonjour,

J'entre en ECS et j'ai des devoirs de vacances. Je vous poste ci-dessous l'énoncé de l'exercice ainsi que mes réponses.

Voici la suite (Un) pour tout n de N définie par : { Un+1=Un*e-n pour tout n de N et     {U0  appartient à R+

a) Montrer que Un appartient  à R+* pour tout n de N

b) Démontrer que pour tout n de N la suite (Un) est monotone.  Préciser sa monotonie.

c) Démontrer que pour tout n de N la suite (Un) converge puis préciser sa limite.

d) Montrer qu'on peut poser Vn= ln(Un)

e) Démontrer que pour tout n de N on a : somme des Uk de k allant de 0 à n = V0 - Vn+1
    Montrer alors que la série [Sigma]Un diverge.  j'écris [Sigma] car je ne sais pas comment l'écrire dans un post comme celui-ci


Ce que j'ai fais pour le moment :

a) Je veux faire une récurrence mais je bloque d'entrée à l'initialisation car U0 appartient à R+ et pas R+*

b) Pour cette question je pense à faire Un+1 - Un

c) Je bloque sur celle-ci

d) Pour celle-ci j'ai une idée mais je ne sais pas si la rédaction est correcte. L'idée c'est de dire que Un appartient à R+* comme on l'a montré dans la question a et que donc ln(Un) existe. Il y a l'idée mais la rédaction est bof Laughing

e) Aucune idée pour celle-ci


Merci d'avance pour votre aide!! Very Happy
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 9:17
Bonjour Chen 741 et bienvenue sur MED Smile

Pour la première question, il doit effectivement y avoir une erreur dans l'énoncé, je pense que tu peux considérer que $u_0\in\mathbb{R}_{+}^{*}$.

Es-tu arrivé à conclure sur la deuxième question ?
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 10:23
Bonjour et merci Very Happy

Pour la deuxième question j'ai réussi à montrer que (Un) décroit. D'après la question a elle est minorée par 0 ce qui la force à être convergente (pour la question c cyclops )
Comment puis-je trouver la limite pour la question c maintenant svp ? Selon moi la limite est 0 mais je ne sais comment le prouver Sad
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 10:31
Ton raisonnement est correct, tu peux citer le théorème de convergence monotone. Tu sais que cette suite converge, tu peux appeler $l$ sa limite puis utiliser l'égalité $u_{n+1}=u_{n}e^{-n}$ pour trouver la valeur de $l$ (je te laisse essayer Smile ).
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 10:45
Je bloque, je n'arrive pas à utiliser l'unicité de la limité: l est la limite de Un et donc de Un+1
Si Un+1 tend vers l, cela veut dire que Un*e^(-n) tend aussi vers l et ensuite je bloque Crying or Very sad

EDIT : je crois avoir trouvé ! Very Happy
Comme e^(-n) converge vers 0 quand n tend vers +infini, cela force Un*e^(-n) à tendre vers 0. Donc si Un+1 tend vers 0, Un tend aussi vers 0 ! Surprised
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 11:02
Tu as compris le truc dans ton edit ! Mais il faudrait rédiger plutôt en utilisant l'égalité : comme $u_{n+1}=u_{n}e^{-n}$ alors par passage à la limite, on obtient $\lim u_{n+1}=\lim u_{n}e^{-n}$  puis $l=l\lim e^{-n}$ donc $l=0$.

Je dois m'absenter un moment, je continuerai à t'aider plus tard :-)
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Lun 28 Aoû - 14:00
Re, ton idée pour la question $d)$ est bonne ! Tu peux juste être plus précis dans la rédaction en disant que "pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\in\mathbb{R}_{+}^{*}$" et en précisant l'ensemble de définition de la fonction ln.
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Mar 29 Aoû - 8:00
Merci beaucoup, pouvez-vous me donner une piste pour la question e ? Selon moi il faut partir de l'égalité Vn=ln(Un) mais je ne sais pas trop quoi faire après ..
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Mar 29 Aoû - 16:36
Salut,
Es tu certain de l’énoncé de la question e ? Elle est fausse.
A vu de nez je dirais même  $V_0 - V_{n+1} =  \sum \limits_{k=0}^n k$
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Mar 29 Aoû - 22:06
Oui sûr et certain, ça doit être une erreur du professeur ... Au final j'ai réussi à retrouver l'égalité mais comment je dois montrer que la série Un diverge ?..
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Mer 30 Aoû - 9:10
Quelle égalité as tu montrée ?
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Re: Exercice fin TS, début ECS sur les Suites

le Mer 30 Aoû - 9:20
Et la série $\sum U_n$ converge ...
L'exercice est faux.
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