Algèbre linéaire

Oui chaque élément de départ auront donc un antécédent

*au moins 1 antécédent pardon

Non, c'est chaque élément de l'espace d'arrivée. Que peux-tu me dire sur Im(f) et F ? sont-ils égaux ? pouvons-nous les comparer ? L'un est-il inclus dans l'autre ?

vu que le rang est de 3 et la dimension de l'espace d'arrivé est aussi de 3

dim im (f)= dim F

Dans tous les cas lorsque tu as une application f de E dans F :
Im(f) est inclus dans F

Tu es d'accord ?
De plus ils ont la même dimension, donc les deux espaces sont égaux (ie Im(f) = F).
Donc f est surjective =)

Oui c'est beaucoup plus clair merci

Parfait

Bonjour,

Je reviens pour avoir quelques informations.
J'aimerai savoir comment calculer la puissance d'une matrice n fois.

En effet quand nous avons une matrice triangulaire. Il suffit d'élever la diagonale à la puissance n.
Mais quand ce n'est pas une matrice triangulaire, je dois passer par le binôme de Newton. Mais je ne vois pas comment faire

Y a pas de méthode générale, on fait ça un peu comme on peut.
C'est vraiment la galère de mettre des matrices à un exposant.

Soit c'est une matrice sympa (diago, trigo ou juste qui a une gueule sympa) et on peut trouver ça facilement. Mais dans les autres cas on doit se démerder avec d'autres trucs et bricoler.

Si la matrice est diagonalisable on peut la diagonaliser et ainsi monter la matrice diagonale au bon exposant puis changer de base dans le sens inverse. On peut faire la même chose si elle est trigonalisable, même si bon c'est moins pratique.

Un autre truc qu'on fait souvent c'est d'écrire la matrice comme une somme d'une matrice qu'on sait mettre à un exposant et d'une matrice nilpotente, puis utiliser le binôme de Newton. C'est pas forcément super rapide puisqu'il faut attendre que la matrice nilpotente s'annule à un moment...

De manière générale on peut toujours espérer trouver des décompositions (sommes ou produits) de matrices sympathiques pour écrire la matrice de base et ainsi trouver plus facilement l'exposant de la puissance de cette matrice.

Mais c'est vraiment au cas par cas.

Dans mon cas j'ai deux une matrice que j'ai séparé en somme de 2 matrice pour pouvoir appliqué le binôme de newton.

A et B

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}&space;a^{k}b^{n-k}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}&space;a^{k}b^{n-k}" title="\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{k}b^{n-k}" /></a>

je trouve ensuite que pour

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=k^{2}=0&space;k^{3}=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?k^{2}=0&space;k^{3}=0" title="k^{2}=0 k^{3}=0" /></a>

<a href="http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=\forall&space;k\geq&space;2\Rightarrow&space;a^{k}=0" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\forall&space;k\geq&space;2\Rightarrow&space;a^{k}=0" title="\forall k\geq 2\Rightarrow a^{k}=0" /></a>

pour la 2ème ligne je me suis trompé c'est "a" à la place de "k"

Enfin je n'arrive pas à conclure

Et bah tu sais que A^n est nul si n est supérieur à 2 donc déjà tous les termes A^n avec n supérieur à 2 on les jarte (au passage je suis pas fana de l'écriture de ton implication, le "pour tout" me semble en trop).

Du coup tu gardes que le terme de ton binôme en A^0, A^1 et... bah c'est tout si j'en crois ce que tu dis. Du coup regardes dans ta somme quand tu as A^0 et A^1 et fait la somme.