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Raisonnement par l'absurde

le Sam 27 Aoû - 20:41
Bonsoir Very Happy

J'aurais besoin d'aide pour quelques exos sur le raisonnement par l'absurde.

1) Soient $a$, $b$, $c$, et $d$ des nombres rationnels tels que:

$a+b*\sqrt(2)\ = c+d*\sqrt(2)$

Montrer que: $a=c$ et $b=d$

2) Montrer que $\sqrt(3)$ est irrationnel. Généraliser.

3) Montrer que $\frac{ln3}{ln2}$ est irrationnel.
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Sam 27 Aoû - 20:45
Réputation du message : 100% (1 vote)
Salut, est-ce que tu as commencé à faire quelque chose pour la première question ? Tu pourrais par exemple supposer par l'absurde que $b\neq d$.
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Sam 27 Aoû - 21:10
Supposons par l'absurde que $b≠d$

donc on a $$ a-c = (d-b)\sqrt(2) $$

d'où $$\sqrt(2)= \frac{(a-c)}{(d-b)}$$

Or la différence de nombres rationnels est un nombre rationnel, on a $\sqrt(2)$, irrationnel, qui est égal au quotient de 2 nombres rationnels, c'est donc absurde.

On en conclus que $b=d$

Il vient donc: $$a+b\sqrt(2) = c + b\sqrt(2)$$

D'où $a=c$.

Je crains un manque de rigueur dans cette démo.. :/

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Re: Raisonnement par l'absurde

le Sam 27 Aoû - 23:08
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Non c'est exactement ça, c'est très bien comme ça ! Wink
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Dim 28 Aoû - 9:22
Pour le 2)

Supposons que $\sqrt{3}$  est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:

$$\sqrt{3}= \frac{p}{q}$$

D'où: $$3q²=p²$$ i.e 3 divise $p$.

Ainsi, il existe $p'$ entier relatif tel que: $p=3p'$

Donc $$q²=3(p')²$$ i.e 3 divise $q$.

Ainsi p et q ont 3 pour diviseur commun, ce qui est absurde car on les a supposé premiers entre eux.

On en conclus donc que $\sqrt{3}$ est irrationnel.


Quant à la généralisation, je sais pas trop comment la rédiger, mais ça semble assez évident:
Pour tout $n$ entier naturel non carré parfait, $\sqrt{n}$ est irrationnel.
Ce qui pose un souci c'est que la propriété que j'utilise dans la démo: "Si $a$ divise $b²$ alors $a$ divise $b$" ne s'applique que pour $a$ premier non?
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Dim 28 Aoû - 11:55
Réputation du message : 100% (1 vote)
Oui c'est ok pour $\sqrt{3}$. Pour la généralisation, je te propose de prouver que si $\sqrt{n}$ est rationnel, alors $n$ est un carré parfait. Donc par contraposition, si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel.
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Dim 28 Aoû - 12:52
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Soit n un entier naturel. Prouvons que si $\sqrt{n}$ est rationnel alors $n$ est un carré parfait.

Il existe donc $p$, $q$ entiers relatifs, premiers ente eux tels que:

$\sqrt{n}= \frac{p}{q}$ d'où $n= \frac{p²}{q²}$.

Comme n est un entier, $q²$ divise $p²$ donc $q$ divise $p²$.
Or comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux d'après le théorème de Gauss, $q$ divise $p$, i.e $q=1$.

Ainsi, $\sqrt{n}= p$ d'où $n=p²$, donc n est bien un carré parfait.

Par contraposition, on obtiens: si $\sqrt{n}$ est irrationnel alors $n$ n'est pas un carré parfait.
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Dim 28 Aoû - 14:32
Oui, je confirme !
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Re: Raisonnement par l'absurde

le Dim 28 Aoû - 16:05
Pour le 3)

Supposons que $\frac{ln3}{ln2}$  est rationnel.
Il existe donc $p$ et $q$ entiers relatifs premiers entre eux tels que:

$$\frac{ln3}{ln2}= \frac{p}{q}$$

D'où $q*ln(3)=p*ln(2)$

Donc $ln(3^{q})=ln(2^{p})$ avec $3^{q}>0$ et $2^{p}>0$

Donc on a: $3^{q}=2^{p}$

Or $3^{q}$ est impair et $2^{p}$ est pair, ils ne peuvent donc être égaux.

On en conclus donc que $\frac{ln3}{ln2}$  est irrationnel.
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